Arctan eller tan^-1

Nej. Men du kan tegne enheds-cirklen.

#1

Nej. Men du kan tegne enheds-cirklen.

Kan du yddybe, hvordan man så benytter enhedscirklen? :)

Tangens-aksen går lodret gennem punktet (1,0) svarende til dens nulpunkt. Tangens er  1  i punktet (1,1); og  -1  i punktet (1,-1). svarende til buemålet -Pi/4  eller -0.79 radianer.

Der findes jo Taylor-serien:

Arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 . . . . . .       ( |x| < 1  )

Eller:

Arctan(x) = ±π/2 - 1/x + 1/(3x³) - 1/(5x⁵) . . . . . .

#4

Der findes jo Taylor-serien:

Arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 . . . . . .       ( |x| < 1  )

Eller:

Arctan(x) = ±π/2 - 1/x + 1/(3x³) - 1/(5x⁵) . . . . . .

Jeg forstår ikke helt denne formel ? :)

#2

Tegn et koordinatsystem og tegn heri en cirkel med centrum i begyndelsespunktet og radius 1. Så har du enhedscirklen. Tegn desuden linien, der er parallel med y-aksen og gårr gennem (1,0). Tegn en halvlinie fra (0,0) gennem (1,-1). Tallet -1 er valgt, fordi du skal finde arctan(-1). Den vinkel, halvlinien danner med x-aksen, er den søgte værdi af arctan (regnet med fortegn). Du kan nemt finde dens størrelse ved hjælp af symmetribetragtninger. Tan(v) er defineret som y-koordinaten til skæringspunktet mellem hslvlinien, der danner vinklen v med x-aksen, og linien gennem (1,0) parallelt med y-aksen. Derfor kan du benytte denne metode. Den virker dog kun eksakt, hvis v er -45º, 0º eller 45º. I andre tilfælde kan man få en tilnærmet værdi ved at måle sig frem med vinkelmåler og lineal.

#5

Taylors formel giver en tilnærmet værdi. Det blive for vidtgående at gennemgå den her, men slå den op i din lærebog. Der må den være udledt. Desværre kan Taylorformlen i en del tilfælde kræve en del regnearbejde, hvorfor man har søgt efter mere effektive formler til specialtilfælde. Den ande formel, hsch har angivet er en sådan formel.

#6: Taylors formel er nøjagtig ( ikke tilnærmet ), hvis der medtages uendeligt mange led.

#4:  Jeg glemte at skrive, at nr. 2 formel anvendes når  |x| ≥ 1.

#5:  Det er en rækkeudvikling ( ikke en formel ). Hvis man fx. anvender de første 10 led i første rækkeudvikling, dannes et 19. grads polynomium, der tilnærmet beregner arctan(x). Hvis fx x = 0.5, fås ved indsættelse af x i polynomiet:

Arctan(0.5) ≈ P(0.5) = 0.5 - 0.5³/3 + 0.5⁵/5 - 0.5⁷/7 + . . . . . + 0.5¹⁹/19

Sidste led bidrager så med ≈ +0.0000001 , hvilket jo ikke er en særlig stor værdi, sammenlignet med værdien af første led ( 0.5 ).  Anvendes flere led, vil bidraget fra sidste led blive endnu mindre. Første rækkeudvikling konvergerer mod eksakt arctan(x), netop fordi  |0.5| < 1. Hvis |x|≥1 konvergerer anden rækkeudvikling.