Matematik

Lineær algebra - bevis af en invertibel matrix

09. september 2017 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg har siddet og tænkt lidt over denne opgave, men jeg kan ikke rigtig finde hoved og hale i den. Opgaven lyder:

"Show that if A is a square matrix such that A^k=0 for some positive integer k, then the matrix A is invertible and

(I-A)^-1=I+A+A²+...+A^k-1"

Er der nogen der kan hjælpe mig lidt på rette spor?

Brugbart svar (1)

Svar #1
09. september 2017 af Eksperimentalfysikeren

Prøv at multiplicere ligningen med (1-A) på begge sider af lighedstegnet.

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. september 2017 af Anders521

Hejsa,

undskyld, men ... skal den ene delkonklusion ikke hellere være

$(I+A)^{-1}=\lim_{n \rightarrow \infty}(I+A+A^{2}+ ...+A^{n} )$ ?

Brugbart svar (1)

Svar #3
09. september 2017 af fosfor (Slettet)

I + A + A² + ... + A^k-1 =
(I + A + A² + ... + A^k-1)*(I - A)*(I - A)^-¹ =
((I + A + A² + ... + A^k-1)*I - (I + A + A² + ... + A^k-1)*A) * (1 - A)^-1 =
((I + A + A² + ... + A^k-1) - (A + A² + A³ + ... + A^k))*(1 - A)^-1 =
I * (1 - A)^-1

Brugbart svar (1)

Svar #4
09. september 2017 af Anders521

Hej igen,

mht #3): den næstsidste linje ser interessant ud.

[ (I + A + A² + ... + A^k-1) - (A + A² + A³ + ... + A^k) ]_*(1 - A)^-1 , hvilket er det samme som

[ (I + A + A² + ... + A^k-1) - (A + A² + A³ + ... + A^k-1+A^k) ]_*(1 - A)^-1. Det jeg ender med er (I+A^k)*(I-A)^-1

Brugbart svar (1)

Svar #5
09. september 2017 af Eksperimentalfysikeren

#2 Nej, Det er meget simplere.

PS: Jeg har skrevet (1-A) i stedet for (I-A) ved et uheld. Den sidste form er korrekt, men den første bruges også på steder, hvor det ikke kan give misforståelser.

Brugbart svar (1)

Svar #6
09. september 2017 af Eksperimentalfysikeren

#4 Husk lige forudsætningen: A^k = ???

Svar #7
09. september 2017 af KaspermedK

Så hvis jeg ganger med (I-A) på begge sider, så ender jeg ud med

1=(I-A)I+(I-A)A+(I-A)A²+...+(I-A)A^k? Eller er jeg på sidespor?

Brugbart svar (1)

Svar #8
09. september 2017 af Anders521

#4 Husk lige forudsætningen: Ak = ???

Nåh ja, ups! Vi forudsætter at A^k=0, hvor k er et positivt heltal. Tak.

Brugbart svar (1)

Svar #9
09. september 2017 af Eksperimentalfysikeren

Den sidste faktor skal være A^k-1.

Gang parenteserne ud. Mange af ledenegår ud. Se, hvad der er tilbage.

Svar #10
09. september 2017 af KaspermedK

Kan det passe jeg får

1=(I-A)?

Brugbart svar (1)

Svar #11
09. september 2017 af Eksperimentalfysikeren

Nej, prøv igen.

Svar #12
09. september 2017 af KaspermedK

Ahhh jeg er ikke så god til at regne når vi lader noget gå mod et tal.. :s

1=(I-A)A eller? :s

Brugbart svar (1)

Svar #13
09. september 2017 af Eksperimentalfysikeren

I første omgang gå de fleste af ledene ud mod hinanden, så der er I-A^k tilbage. Husk så, at A^k = 0.

Brugbart svar (1)

Svar #14
09. september 2017 af Eksperimentalfysikeren

I første omgang gå de fleste af ledene ud mod hinanden, så der er I-A^k tilbage. Husk så, at A^k = 0.

Svar #15
09. september 2017 af KaspermedK

Så vi har at I-A^k=0. Her er I jo bare identitetsmatricen, og dermed er A^k=0 invertibel, eller skal jeg rykke I over på den anden side af lighedstegnet, så jeg ender med A^k=I? Men det vil jo ikke give mening.

Brugbart svar (1)

Svar #16
09. september 2017 af fosfor (Slettet)

#15 Vi har
I-A^k = I - 0 = I
og
A^k = 0, som ikke er invertibel

Svar #17
10. september 2017 af KaspermedK

Mange tak for jeres tid til at hjælpe mig.

#16 men jeg ender jo ud med at have 1=I-A^k og så forstår jeg ikke det du ender ud med, altså I-A^k=I-0=I

Altså jeg kan godt se, at A^k=0 ikke er invertibel, men jeg kan ikke se sammehængen i det. :s

Skriv et svar til: Lineær algebra - bevis af en invertibel matrix

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.