Matematik

spg. til bevis

12. september 2017 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

$\textbf{Theorem 3.7}\\ \textit{Denote by }\mathfrak{O},\mathfrak{L}\textit{ and }\mathfrak{K}\textit{ the families of open, closed and compact}\\ \textit{sets in } \mathbb{R}^n.\textit{ Then}\\ \\ {\color{White} .}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n )=\sigma(\mathfrak{O})=\sigma(\mathfrak{L})=\sigma(\mathfrak{K})$

Her er B(Rⁿ) Borel sigma-algebra.

Beviset forløber:

$\textbf{Proof}\\ \textit{Since compact sets are closed, we have }\mathfrak{K}\subset\mathfrak{L}\textit{ and, by Remark 3.5(iii),}\\ \sigma(\mathfrak{K})\subset\mathfrak{L}.\textit{ On the other hand, if } C\in\mathfrak{L}\textit{ then }C_k:=C\cap\overline{B_k(0)}\textit{ is closed}\\ \textit{and bounded, hence }C_k\in\mathfrak{K}. \textit{ By construction }C=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}C_k, \textit{ thus }\mathfrak{L}\subset\sigma(\mathfrak{K})\\ \textit{and also }\sigma(\mathfrak{L})\subset\sigma(\mathfrak{K}).\\ \\ \textit{Since }(\mathfrak{O})^c:=\{U^c|U\in\mathfrak{O}\}=\mathfrak{L}\textit{ (and }(\mathfrak{L})^c=\mathfrak{O}\textit{) we have }\mathfrak{L}=(\mathfrak{O})^c\subset\sigma(\mathfrak{O})\textit{,}\\ \textit{hence }\sigma(\mathfrak{L})\subset\sigma(\mathfrak{O})\textit{ and the converse inclusion is similar}$

Remark 3.5(iii):
if F⊂G⊂A, then σ(F)⊂σ(G)⊂σ(A) = A

Nu har jeg forsøgt at tegne lidt. Jeg havde tegnet K som en kompakt mængde. Mængden K (= afsluttet + begrænset) ligger inde i mængden L (= afsluttet) hvilket giver god mening, og benyttes 3.5(iii) så for man også σ(K) ⊂ σ(L)

Indtil videre giver det god mening... Men så kommer

Hvis C∈L - - Altså, det er her jeg bliver forvirret.... For hvis der gælder at L er afsluttet, så betyder det at L indeholder alle sine indre punkter og sin rand. Hvis man sætter dette C til at være mængden af randpunkter i L, så går beviset vel i stykker? Hvorfor?

Fordi: C_k = C∩B_k(0)_lukket er lukket og begrænset - enig! Men her vil C_k jo være randpunkterne i mængden L, og dermed kan man vel ikke skrive at L ⊂ σ(K)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. september 2017 af VandalS

Lad være et vilkårligt element i $\mathfrak{L}$ . Du er med på, at konstruktionen er lukket og begrænset, så hvert per definition af $\mathfrak{K}$ . Da gælder det også, at . Da er en sigma-algebra er den lukket overfor tællelige unioner, så

Dermed er det vist, at et vilkårligt element i $\mathfrak{L}$ også er et element i , hvorfor som ønsket.

Skriv et svar til: spg. til bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.