LaPlace ligningsløsning og tilbagetransformation

Husk at Laplace transformationen af den afledte er:    L[x'(t)] = sX(s) - x(0),
hvor X(s) er Laplace transformationen af x(t).

Hvorfor din differential ligning bliver;   0 = s*X(s) - x(0) + 3*X(s)
                                                               = (s+3)*X(s) - 2.

Altså er den unikke løsning til dit begyndelsesværdi problem givet ved:

x(t) = L^-1[2/(s+3)],

hvor L^-1 benævner den inverse Laplace transformation.

Tak og når jeg så vil tilbagetransformere, kan det så passe at jeg får:
x(t) = e^-3(t)

Hvis x(t) = e^-3t er en løsning til begyndelsesværdi problemet

x'(t) + 3x = 0   og   x(0) = 2.

Skal du kræve at x(t) først og fremmest opfylder begyndelsesværdien (hvilket den ikke gør) og at også er en løsning til differentialligningen.

Funktionen x(t) = 2*e^-3t opfylder begyndelsesbetingelsen og samt differentialligningen. Hvorfor eksistens og entydigheds sætningen giver at dette er den eneste løsning til dette begyndelsesværdi problem. Altså er x(t) = 2*e^-3t den inverse Labplace transformeret til 2/(s+3).

NB.

Husk at ligningen:   y'(t) = k*y(t)

har den fuldstændigede løsning:   y(t) = C*e^kt.

Hvor C er en arbitrær konstant, der er bestemt ved begyndelsesbetinglesen.

Denne differential ligning er jo præcist den differential ligning du er igang med at løse via Laplace transformaton.