Matematik

Differentialligning !!!

29. oktober 2017 af hejmitnavnerhans (Slettet) - Niveau: A-niveau

HJÆLP !!!

I en model for antallet af individer N(t) i en population til tidspunktet t(målt i døgn) er den hasighed, hvormed N(t) vokser til tidspunktet t, propotional med produktet af antallet af individer til tidspunktet t og forskellen mellem 5*10^6 og antallet af individer til tidspunktet t.

a) opskriv en differentialligning, som N(t) må opfylde, når proportionalitetsfaktoren er 4*10^-9

b) Bestem en forskrift for N(t), når det oplyses, at antallet af individer til tidspunktet t=0 er 100000

c) Bestem det tidspunkt, hvor antallet af individer er 4*10^6

d Bestem det tidspunkt hvor væksthastigheden er størst

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. oktober 2017 af mathon

a)
$\small \small N{}'(t)=4\cdot 10^{-9}\cdot N(t)\cdot (5\cdot 10^6-N(t))$

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. oktober 2017 af mathon

$\small N(t)=\frac{5\cdot 10^6}{1+Ce^{-4\cdot 10^{-9}\cdot 5\cdot 10^6\cdot t}}$

$\small N(t)=\frac{5\cdot 10^6}{1+Ce^{-0{.}02\cdot t}}$

Svar #3
29. oktober 2017 af hejmitnavnerhans (Slettet)

Tak. Men vil hælpe mere med forklaringer :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. oktober 2017 af mathon

På A-niveau bør man kende
sammenhængen:
   $\small \small y{\, }'=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; \; \; 0<y<M$
   $\small \Updownarrow$
   $\small \small y=\frac{M}{1+Ce^{-aM\cdot t}}$

udledningen er for fyldig til at bringe her.

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. oktober 2017 af mathon

b)
samt
$\small 10^5=\frac{5\cdot 10^6}{1+C\cdot e^{-0{.}02\cdot 0}}$

$\small 10^5=\frac{5\cdot 10^6}{1+C\cdot e^{-0{.}02\cdot 0}}$ ?

$\small 1=\frac{50}{1+C}$

$\small 1+C=50$

$\small C=49$

dvs
$\small N(t)=\frac{5\cdot 10^6}{1+49e^{-0{.}02\cdot t}}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. oktober 2017 af mathon

c)
hvoraf
$\small 1+49e^{-0{.}02t}=\frac{5\cdot 10^6}{N}$

$\small 49e^{-0{.}02t}=\frac{5\cdot 10^6-N}{N}$

$\small e^{-0{.}02t}=\frac{5\cdot 10^6-N}{49N}$

$\small e^{0{.}02t}=\frac{49N}{5\cdot 10^6-N}$

$\small 0{.}02t=\ln\left (\frac{49N}{5\cdot 10^6-N} \right )$

$\small t=\frac{\ln\left (\frac{49N}{5\cdot 10^6-N} \right )}{0{.}02}$ som for $\small N=4\cdot 10^6$
giver:
$\small t=\frac{\ln\left ( \frac{49\cdot 4\cdot 10^6}{5\cdot 10^6-4\cdot 10^6} \right )}{0{.}02}$

$\small t=\frac{\ln\left ( \frac{49\cdot 4}{5-4} \right )}{0{.}02}$

$\small t=\frac{\ln\left ( 196\right) }{0{.}02}=263{.}9(06)\textit{ d\o gn = } \textit{37 uger 4 d\o gn 21{.}7 timer}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. oktober 2017 af mathon

c)
    Største væksrhastighed
    kræver:

   $\small \small \small N{}'(t)=4\cdot 10^{-9}\cdot N(t)\cdot (5\cdot 10^6-N(t))=0$

                    $\small 4\cdot 10^{-9}\cdot N\cdot (5\cdot 10^6-N)=0$ er en andengradsligning
   med
                    rødderne $\small \left\{\begin{matrix} 0\\5\cdot 10^6 \end{matrix}\right.$

   hvor toppunktet - grundet symmetrien - er midt mellem rødderne
   hvoraf:
                   $\small N=\tfrac{5\cdot 10^6}{2}=2{.}5\cdot 10^6$

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. oktober 2017 af mathon

dvs
$\small N(t)=\frac{5\cdot 10^6}{1+49e^{-0{.}02\cdot t}}$

$\small 2{.}5\cdot 10^6=\frac{5\cdot 10^6}{1+49e^{-0{.}02\cdot t}}$

$\small 1=\frac{2}{1+49e^{-0{.}02\cdot t}}$

$\small 1+49e^{-0{.}02\cdot t}=2$

$\small 49e^{-0{.}02\cdot t}=1$

$\small e^{-0{.}02\cdot t}=49^{-1}$

$\small e^{0{.}02\cdot t}=49$

$\small 0{.}02\cdot t=\ln(49)$

$\small t=\frac{\ln(49)}{0{.}02}$

Skriv et svar til: Differentialligning !!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.