Matematik

DIFFERENTIALLIGNING

09. november 2017 af studiehjælp123 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, er der en der kan hjælpe med to opgaver.

En plante vokser i en potte. Plantens vægt y (målt i kg) er en funktion af tiden t (målt i uger). I en model for plantens vægt går man ud fra, at y opfylder differentialligningen

dy = 0,004y(12,5 − y) dt

Til tiden t = 0 er plantens vægt 1,0 kg.

1) Bestem den øvre grænse for plantens vægt.

2) Hvor mange uger skal planten vokse, for at dens vægt øges fra 1,0 kg til 90% af den øvre grænse?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. november 2017 af mathon

Udgangspunkt

$\small \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t}=a\cdot y\cdot \left ( M-y \right )\; \; \; \; \; a>\; \; \wedge\; \; 0<y<M$

har løsningen
$\small \small y(t)=\frac{M}{1+Ce^{-(aM)t}}$

Svar #2
09. november 2017 af studiehjælp123 (Slettet)

Jeg har udregnet at; y(t)=12,5/(1+11,5*e^-0,05t) men ved ikke hvordan jeg kommer videre.

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. november 2017 af mathon

som med
$\small a=0{.}04$ $\small a=0{.}004\; \; \; M=12{.}5\; \; \; aM=0{.}05$

giver:
$\small y(t)=\frac{12{.}5}{1+Ce^{-0{.}05t}}$
og
$\small y(0)=\frac{12{.}5}{1+Ce^{-0{.}05\cdot 0}}=\frac{12{.}5}{1+C}=1{.}0$

$\small 1+C=12{.}5$

$\small C=11{.}5$

dvs

$\small \small y(t)=\frac{12{.}5}{1+11{.}5e^{-0{.}05t}}$

Svar #4
09. november 2017 af studiehjælp123 (Slettet)

Så langt har jeg lavet, men hvordan finder jeg den øvre grænse

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. november 2017 af mathon

og dermed:
$\small \small 12{.}5\cdot 0{.}90=\frac{12{.}5}{1+Ce^{-0{.}05t}}$

$\small 0{.}90=\frac{1}{1+11{.}5e^{-0{.}05t}}$

$\small 1+11{.}5e^{-0{.}05t}=\frac{1}{0{.}90}=\frac{10}{9}=1\tfrac{1}{9}$

$\small 11{.}5e^{-0{.}05t}=\tfrac{1}{9}$

$\small e^{-0{.}05t}=\tfrac{1}{9\cdot 11{.}5 }$

$\small e^{0{.}05t}=9\cdot 11{.}5 =103{.}5$

$\small 0{.}05t=\ln\left (103{.}5 \right )$

$\small t=\tfrac{\ln{103{.}5}}{0{.}05}$

Svar #6
09. november 2017 af studiehjælp123 (Slettet)

Mange tak, det må være svaret på spørgsmål nr. 2 med de 90%.

Men hvad med det første spørgsmål, med den øvre grænse for plantens vækst?

Svar #7
09. november 2017 af studiehjælp123 (Slettet)

Og hvorfor er det, du siger 12.5 * 0.90 længere oppe. Forstår godt 0.90 men hvorfor skal den ganges med 12.5

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. november 2017 af mathon

a)
øvre grænse

$\small \small y(t)=\frac{12{.}5}{1+11{.}5e^{-0{.}05t}}$

da
$\small \underset{t \to \infty}{\lim} 11{.}5e^{-0{.}05t}=0$
er
$\small y_{max}=\underset{t \to \infty}{\lim}\; \; \frac{12{.}5} {1+11{.}5e^{-0{.}05t}}=12{.}5$

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. november 2017 af mathon

Nu, da du har den øvre grænse,
besvarer du vist selv spørgsmålet.

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. november 2017 af fosfor (Slettet)

Ligningen
$\small \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t}=a\cdot y\cdot \left ( M-y \right )$

har øvre grænse M, og tiden det tager at kommer fra b = 1.0 til 90% af M er
$\Delta t=\frac{1}{a M}\ln \left(\frac{f (M-b)}{(1-f)b}\right)$

hvor f = 0.90 = 90%

Svar #11
09. november 2017 af studiehjælp123 (Slettet)

Super, mange tak for hjælpen begge to!! :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. november 2017 af mathon

Når
$\small \small r\cdot M=\frac{M}{1+Ce^{-aMt}}\; \; \; \; \; 0<r<1$

har man
$\small t=\frac{1}{aM}\cdot \ln\left ( \frac{rC}{1-r} \right )$

Skriv et svar til: DIFFERENTIALLIGNING

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.