Matematik

Diffrrentialligning

25. november 2017 af OZMOSE (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej jeg har virkelig utrolig brug for hjælp til følgende opgave især den første del

Vedhæftet fil: 1792023.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. november 2017 af fosfor (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. november 2017 af fosfor (Slettet)

Gang med en funktion h(x) på begge sider:
x'(t) + 5x(t) = f(t)
h(t)x'(t) + 5h(t)x(t) = h(t)f(t)

Bemærk at man kan integrere begge sider (med produktreglen) hvis h'(t) = 5h(t),
som opnås ved h(t) = e^5t . Med dette h kan ovenstående skrives som

h(t)x'(t) + h'(t)x(t) = e^5tf(t)

Integrer begge sider
x(t)h(t) = ∫e^5tf(t)dt = ∫e^4tcos(2t)dt

Dvs. x(t) = h(t)^-1 ∫e^4tcos(2t)dt

Når integralet skrives ud (brug to gange partiel og husk additiv konstant k) så fås den fuldstændig løsning, og bemærk da at tilpas valg af a,b, og k får løsningen til at have den i opgaven nævnte form.

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. november 2017 af Soeffi

#0. Se evt.

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1792212

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1792023

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. november 2017 af Sveppalyf (Slettet)

Jeg synes at opgaven lægger op til at den skal løses sådan her:

Indsæt x(t) = ae^-tcos(2t) + be^-tsin(2t) i venstresiden i differentialligningen. Bestem så a og b så udtrykket giver højresiden i differentialligningen. (Jeg får a=1/5 og b=1/10). Man har så fundet en partikulær løsning og dermed er første spørgsmål besvaret.

Løs nu den tilsvarende homogene differentialligning:

dx/dt + 5x = 0

Dette giver

x(t) = c*e^-5t

Så er der en regel der siger at man får den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning ved at lægge den fuldstændige løsning til den homogene ligning sammen med en partikulær løsning til den inhomogene ligning. Altså er den fuldstændige løsning til differentialligningen

x(t) = c*e^-5t + 1/5 e^-tcos(2t) + 1/10 e^-tsin(2t)

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. november 2017 af mathon

$\small \small x(t)=e^{-5t}\cdot \int e^{5t}\cdot e^{-t}\cos(2t)\mathrm{d}t=e^{-5t} \int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t$
hvor
$\small \int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t=e^{4t}\tfrac{1}{2}\sin(2t)-\tfrac{1}{2}\int 4\cdot e^{4t}\sin(2t)\mathrm{d}t$

$\small \int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t=e^{4t}\tfrac{1}{2}\sin(2t)-2\int e^{4t}\sin(2t)\mathrm{d}t$

$\small \int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t=e^{4t}\tfrac{1}{2}\sin(2t)-2\left ( -\tfrac{1}{2}\cos(2t)\cdot e^{4t}-\int -\tfrac{1}{2}\cos(2t )\cdot 4e^{4t}\mathrm{d}t\right )$

$\small \int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t=e^{4t}\tfrac{1}{2}\sin(2t)+e^{4t}\cos(2t) -4\int e^{4t}\cos(2t )\mathrm{d}t$

$\small 5\int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t=\tfrac{1}{2}e^{4t}\sin(2t)+e^{4t}\cos(2t)$

$\small \int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t=\tfrac{1}{5}e^{4t}\cos(2t)+\tfrac{1}{10}e^{4t}\sin(2t)$

så
$\small \small x(t)=e^{-5t}\cdot \int e^{5t}\cdot e^{-t}\cos(2t)\mathrm{d}t=e^{-5t} \int e^{4t}\cos(2t)\mathrm{d}t$

$\small x(t)=e^{-5t}\cdot \int e^{5t}\cdot e^{-t}\cos(2t)\mathrm{d}t=e^{-5t} \cdot \left ( \tfrac{1}{5}e^{4t}\cos(2t)+\tfrac{1}{10}e^{4t}\sin(2t) \right )$

$\small \small \small x(t)_{partikul\ae r}= \mathbf{\color{Red} \tfrac{1}{5}}e^{-t}\cos(2t)+\mathbf{\color{Blue} \tfrac{1}{10}}e^{-t}\sin(2t)$

Skriv et svar til: Diffrrentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.