Matematik

Lineære funktioner

12. december 2017 af Mathian - Niveau: B-niveau

Du skal forklare, hvad man forstår ved en lineær vækst, idet du undersøger den lineære funktion ax+b. Hvilken betydning har a og b for grafens forløb? Hvordan bestemmes a og b ud fra to givne punkter? Du skal forklare, hvad der menes med proportionalitet og omvendt proportionalitet.

Hvad menes der med "undersøger"? Betyder det at bevise? Når hun spørg, hvordan a og b bestemmes ud fra to givne punkter, betyder det at man skal bevise formlerne for dtem? Hvad lægger der i forklaringen af det sidste, også et bevis?

Tak for hjælpen.

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. december 2017 af Anders521

Ja, du skal beviser formlen for a og b, hvori det antages at de givne punkter er forskellige. (ligefrem

Proportionaliet har at gøre med en delklasse af lineære funktioner af formen y=ax. Som du kan se, er der intet konstantled, hvilket vil sige enhver graf med den nævnte form vil gå gennem punktet Origo. Med hensyn til vækst, kan du kæde begrebet tilvækst sammen med proportionalitet:

Hvis delta x = x_2 - x_1 og delta f = f(x_2) -f(x_1) kan hældningskoefficienten/stigningstallet a skrives som a= (delta f) / (delta x), hvor delta x og delta f kaldes for tilvæksterne i x og f(x). Ved omskrivning af udtrykket for a, kan du se at delta f = a _* delta x, dvs. at tilvæksterne i x og f(x) er proportionale med hinanden.

Omvendt proportionalitet har at gøre med en klasse af funktioner af formen xy=k, hvor k er en konstant. Her vil enhver graf være en hyperbel.

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. december 2017 af mathon

I oversigt:
$\small \textit{ligefrem proportionalitet:}$
$\small \frac{y}{x}=a$

$\small y=a\cdot x$ $\small \text{ret linje gennem (0,0).}$

$\small \textit{omvendt proportionalitet:}$
$\small y\cdot x=a$

$\small y=\frac{a}{x}$ $\small \text{ligesidet hyperbel som for }\mathbf{a>0} \text{ er beliggende i 1. kvadrant.}$

…
$\small \textbf{a er konstant}$

…

$\small a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\small b=y_1-ax_1$

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. december 2017 af mathon

tilføjelse:
…
$\small \textbf{for den line\ae re funktion}$ $\small y=ax+b$

$\small a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\small b=y_1-ax_1$

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. december 2017 af Mathias7878

Bevis for a b og i en lineær funktion:

Vi har to punkter, der kaldes for

$(x_1,y_1) \ og \ (x_2,y_2)$

Vi ved, at alle punkter, der ligger på grafen, opfylder funktionsforskriften. Da kan vi opstille to ligninger og trække dem fra hinanden. Vi har:

$y_2-y_1 = ax_2+b-(ax_1+b)$

Vi husker da, at når man ønsker at ophæve en minusparentes, så skal man huske at skifte fortegnene inde i parentesen, dvs:

$y_2-y_1 = ax_2+b-ax_1-b$

hvor vi ser, at b og -b går ud med hinanden. Vi har nu

$y_2-y_1 = ax_2-ax_1$

hvor a kan sættes uden foran en parentes

$y_2-y_1 = a\cdot (x_2-x_1)$

Vi kan da dividere med (x₂-x₁) på begge sider for at isolere x. Vi får

$a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Beviset for b er blot at isolere b i den lineære funktion på formen y = ax+b .

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. december 2017 af Mathias7878

Bevis for a og b i en eksponentiel funktion, hvis du nu skal bruge det:

Vi har to punkter, der kaldes for

$(x_1,y_1) \ og \ (x_2,y_2)$

Vi ved, at alle punkter, der ligger på grafen, opfylder funktionsforskriften. Da kan vi opstille to ligninger og dividere dem med hinanden. Vi har:

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{b\cdot a^{x_2}}{b\cdot a^{x_1}}$

hvor vi ser, at b både er i tæller og nævner og derfor går ud med hinanden. Vi har nu

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}$

hvilket kan omskrives til

$\frac{y_2}{y_1} = a^{x_2-x_1}$

på grund af følgende regneregel:

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

Vi kan da tage den x₂-x₁'te rod på begge sider af lighedstegnet for at isolere a:

$a = \sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}$

Beviser for b er blot at isolere b i den eksponentielle funktion på formen y = ba^x

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #6
12. december 2017 af Mathias7878

Bevis for a og b i en potens funktion, hvis du nu skal bruge det:

Vi har to punkter, der kaldes for

$(x_1,y_1) \ og \ (x_2,y_2)$

Vi ved, at alle punkter, der ligger på grafen, opfylder funktionsforskriften. Da kan vi opstille to ligninger og dividere dem med hinanden. Vi har:

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{b\cdot a^{x_2}}{b\cdot a^{x_1}}$

hvor vi ser, at b både er i tæller og nævner og derfor går ud med hinanden. Vi har nu

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{a^{x_2}}{ a^{x_1}}$

hvilket kan omskrives til

$\frac{y_2}{y_1} = (\frac{{x_2}}{{x_1}})^a$

på grund af følgende regneregel

$\frac{a^n}{a^m} = (\frac{n}{m})^a$

Vi tager da log() på begge sider af lighedstegnet

$log(\frac{y_2}{y_1}) = log(\frac{x_2}{x_1})^a$

hvilket kan omskrives til

$log(\frac{y_2}{y_1}) = a\cdot log(\frac{x_2}{x_1})$

på grund af regnereglen

$log(a^b) = b\cdot log(a)$

hvor

$a = \frac{x_2}{x_1} \ og \ b = a$

Vi kan da isolere a ved at dividere med log(x₂/x₁) på begge sider af lighedstegnet:

$a = \frac{log(\frac{y_2}{y_1})}{log(\frac{x_2}{x_1})} = \frac{log(y_2)-log(y_1)}{log(x_2)-log(x_1)}$

Beviset for b er blot at isolere b i potens funktionen på formen y = bx^a

- - -

Svar #7
12. december 2017 af Mathian

wow, tusind tak for hjælpen!!!!!!!! Det skal jeg ihvertfald bruge!

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. december 2017 af Mathias7878

Så trykker man da brugbart svar og gør mig glad :-)

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. december 2017 af SådanDa

#6 holder ikke rigtigt, aⁿ/a^m = (n/m)^a er ikke korrekt. (2³/2⁴= 8/16 = 1/2 ≠ 9/16 = (3/4)² )

Men det kan hurtigt rettes, en potensfunktion er på formen y = b·x^a, så du får:

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{b\cdot x_2^a}{b\cdot x_1^a} = \frac{x_2^a}{x_1^a} = \left (\frac{x_2}{x_1}\right )^a$ hvor der er brugt regnereglen $\frac{n^a}{m^a} = \left (\frac{n}{m} \right )^a$ , som er gældende.

Og derfra fortsættes som i #6

Skriv et svar til: Lineære funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.