Matematik

Bestemmelse af konstanterne a og b

14. februar 2018 af Egofaciens (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har gjort mig nogle tanker omkring denne opgaver, men jeg kan ikke helt se hvordan jeg skal finde konstanterne a og b.

Det vides, at grafen har et lokalt ekstremumspunkt i A(2,2). Altså må f'(x) være lig med 0 ved punktet A(2,2).

Så kan vi måske sætte 2 ind på y's plads og 2 ind på x's plads... Eller?

Jeg håber, at der er en der kan hjælpe mig en smule på vej.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-02-14 kl. 11.20.45.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. februar 2018 af Mathias7878

Du skal løse ligningssystemet:

f(2) = 2

f'(2) = 0

- - -

Svar #2
14. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Vil du forklare hvorfor?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. februar 2018 af Mathias7878

f'(2) = 0, fordi grafen for f har et lokalt ekstremspunkt i A(2,2), dvs. når x er = 0 er hældningen 2 og dermed f'(2) = 0

f(x) afhænger af dens x-værdi, og da punktet er (x,y) = (2,2) må der skulle gælde, at når x = 2 er f(x) = 2, dvs. f(2) = 2

- - -

Svar #4
14. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Okay. Jeg er stadig i tvivl om hvordan man så finder frem til a og b, men jeg prøver:

$f'(x)=3\cdot a\cdot x^{2}+2\cdot b\cdot x$

Nu løser jeg f'(2)=0

$f'(2)=0 \Leftrightarrow 0=3\cdot a\cdot 2^{2}+2\cdot b\cdot 2\Leftrightarrow 0=12\cdot a+4\cdot b$

Så kan jeg ikke rigtig komme videre, fordi der er to ubekendte i stykket.. skulle man måske have lavet et udtryk for f.eks. a eller b og så sat det ind, så der kun var en ubekendt eller?

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. februar 2018 af Mathias7878

.. vi anvender substituionsmetoden, hvor b isoleres i den første ligning:

$\small f(2) = 2$

$\small a\cdot 2^3+b\cdot 2^2 = 2$

$\small 8a+4b = 2$

$\small 4b = 2-8a$

$\small b = \frac{2-8a}{4}$

$\small f'(2) = 0$

$\small 3\cdot a \cdot 2^2+2\cdot b \cdot 2 = 0$

$\small 12a+4b = 0$

.. udtrykket for b substitueres, hvormed a kan isoleres:

$\small 12a+4\cdot (\frac{2-8a}{4}) = 0$ ,

$\small 12a+2-8a = 0$

$\small 4a = -2$

$\small a = \frac{-2}{4} = -0.5$

.. værdien af a indsættes i udtrykket for b:

$\small b = \frac{2-8a}{4} = \frac{2-8\cdot (-0.5)}{4} = \frac{2-(-4)}{4} = 1.5$

Dvs

$\small f(x) = a\cdot x^3+b\cdot x^2 = -0.5\cdot x^3+1.5\cdot x^2$

- - -

Svar #6
14. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Giver mening! Tak skal du have.

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. februar 2018 af mathon

$\small \textbf{eller}$

$\small f(2)=2$
$\small \textup{giver:}$
$\small \mathbf{\color{Red} 1)}$ $\small 4a+2b=1$

$\small f{\, }'(2)=0$
$\small \textup{giver:}$
$\small \mathbf{\color{Blue} 2)}$ $\small 6a+2b=0$
$\small \mathbf{\color{Red} 1)}\textup{ subtraheres fra }\mathbf{\color{Blue} 2)}$

$\small 2a=-1$
$\small a=-\tfrac{1}{2}$ $\small \textup{som indsat i }\mathbf{\color{Blue} 2)}\textup{ divideret med 2}$
$\small \textup{giver:}$
$\small 3\cdot \left (-\tfrac{1}{2} \right )+b=0$
$\small b=\tfrac{3}{2}$

Skriv et svar til: Bestemmelse af konstanterne a og b

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.