Matematik

bevis 2^n+1 (primtal)

16. september 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

Nogen der kan hjælpe mig igang med denne opgave?

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. september 2018 af Festino

Antag at $n$ er et naturligt tal og at $2^n+1$ er et primtal. Ifølge aritmetikkens hovedsætning har $n$ en entydig fremstilling som et produkt af primtal: $n=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdots p_t$ . Vi skal vise, at $p_1=p_2=p_3=\cdots =p_t=2$ . Hvis dette ikke er tilfældet, så er $n$ deleligt med et ulige primtal $m$ dvs. $n=mk$ . Men så er

$(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-k}+2^{km-2k}-2^{km-3k}+\cdots+1)=2^n+1$

i modstrid med, at $2^n+1$ er et primtal.

Svar #2
16. september 2018 af sajana

hvad med det med 2^r hvordan hat man vist det?

Svar #3
16. september 2018 af sajana

kan godt se logikken i det nu. Mang tak for hjælpen:)

Brugbart svar (1)

Svar #4
16. september 2018 af Festino

Vi har vist, at der ikke noget ulige primtal, der går op i $n$ . Det eneste primtal, der går op i $n$ er 2. Altså er $n=2^r$ for et $r\in\Bbb{N}\cup\{0\}$ .

Svar #5
16. september 2018 af sajana

jeg forstår ikke helt det med p1=p2=p3=2

Svar #6
16. september 2018 af sajana

Denne her opgave hører også med. Jeg har kontraponeret udtrykket men ved ikke hvordan jeg skal lave sidste del af opgaven der hvor jeg skal overveje?

Vedhæftet fil:Udklip11.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #7
16. september 2018 af Festino

Vi ønsker at vise, at de eneste muligheder for $n$ er $n=1$ , $n=2$ , $n=4=2\cdot 2$ , $n=8=2\cdot 2\cdot 2$ , $n=16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , og så videre. Det sidste er det samme som $n=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4$ med $p_1=2$ , $p_2=2$ , $p_3=2$ og $p_4=2$ . Håber det blev klart nu.

Svar #8
16. september 2018 af sajana

nåååår mange taaaaak

Brugbart svar (0)

Svar #9
16. september 2018 af Festino

#6 Hvad får du det kontraponerede udtryk til?

Svar #10
16. september 2018 af sajana

noget ala det her:

n=2^r eksister ikke hvis2^n+1 ikke er et primtal

Brugbart svar (1)

Svar #11
16. september 2018 af Festino

Det får jeg ikke. Udsagnet "Hvis det regner, så bliver jeg våd." er logisk ækvivalent med det kontraponerede udsagn "Hvis jeg ikke bliver våd, så regner det ikke." Udsagnet "Hvis det regner, så bliver jeg våd." kan oversættes til "det regner medfører jeg bliver våd". Det kontraponerede udsagn kan oversættes til "jeg bliver ikke våd medfører det regner ikke".

Man kontraponerer altså ved at negere de to deludsagn "det regner" og "jeg bliver våd" og bytte om på rækkefølgen. Ved at bruge samme logik på din opgave får jeg:

For alle $n$ , der ikke kan skrives på formen $n=2^r$ , er $2^n+1$ ikke et primtal.

Svar #12
16. september 2018 af sajana

nåår ok nu giver det meget mere mening

Svar #13
16. september 2018 af sajana

hvad menes der præcist med for alle n?

Svar #14
16. september 2018 af sajana

og hvordan kan man så gå videre med opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #15
16. september 2018 af Festino

Overvej hvad der gælder om primtalsfaktoriseringen af $n$ , hvis $n$ ikke er på formen $2^r$ for et $r\in\Bbb{N}\cup\{0\}$

Svar: Så må der være mindst et ulige primtal, der går op i $n$ .

#13 Alle naturlige tal.

Svar #16
18. september 2018 af sajana

skal man ikke antage at det ikke er et primtal? for tilsidst viser man at det er modstrid?

Skriv et svar til: bevis 2^n+1 (primtal)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.