Matematik

Matricer (igen)

21. september 2018 af Makrofagen - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, sidder med to drilske matriceopgaver:

Jeg har beregnet den reducerede echelonform af matricen T (se fil). Hvis jeg sætter x₃(som er en fri variabel) lig med t, gælder der så ikke, at:

x₁ = 11/6t

x₂ = -1/6t

Det er givet, at A^-1B = A^T. Skal bestemme B, og min umiddelbare tanke er at gange med A på begge sider:

AA^-1B = AA^T

Da AA^-1= E, må det betyde, at:

EB = AA^T ⇔

B = AA^T

Eller hvad? Det passer ikke rigtig, når jeg regner det. Hvad gør jeg galt?

Vedhæftet fil: Mat.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2018 af swpply (Slettet)

Jeg er kommet frem til den reducerede echelonform af matricen T (se fil). Hvis jeg sætter x3, som er en fri variabel, lig med t, er det så ikke korrekt, at x1og x2 er

Hvad er x₁, x₂, x₃, og t ?

Jeg kender ikke din opgave, så du bliver nød til at formulere dit problem sådan at det er muligt at hjælpe dig.

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. september 2018 af swpply (Slettet)

2)

Det er givet, at A^-1B = A^T. Skal bestemme B, og min umiddelbare tanke er at gange med A på begge sider:

AA^-1B = AA^T

Da AA^-1 = E, må det betyde, at:

EB = AA^T ⇔

B = AA^T

Eller hvad? Det passer ikke rigtig, når jeg regner det. Hvad gør jeg galt?

Dit ræsonnement er korrekt. Hvorfor at du ikke får det til at "passe" ved udregning kan ikke rigtig hjælpe dig med, eftersom at du ikke har formuleret dit spørgsmål med tilstrækkelig information.

Igen, jeg kender ikke din opgave på forhånd. Altså, hvorfra skal jeg kunne kende matricerne A og B ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. september 2018 af swpply (Slettet)

Hvis du har problemformuleringen i en bog så tag et billed og upload til tråden.

Hvis du har problemformuleringen elektronisk (det værende som pdf eller lignende) så tag et screenshot at upload billedet til tråden.

Svar #4
21. september 2018 af Makrofagen

#1 Jeg har vedhæftet en fil, hvor du kan se matricen på reduceret echelonform (den hedder T). Og der ses at være én fri variabel, nemlig x₃. Denne sætter jeg lig med t (sådan som vi har lært), og ud fra den reducerede echelonform kan jeg skrive, at:

x₁- 11/6t = 0

x₂ + 1/6t = 0

x₃ = t

Jeg spørger bare, om det så ikke er korrekt, at:

x₁ - 11/6t = 0 ⇔ x₁ = 11/6t

x₂+ 1/6t = 0 ⇔ x₂ = -1/6t

Maple giver nemlig et andet svar (se fil ud fra LinearSolve).

Vedhæftet fil:Mat2.PNG

Svar #5
21. september 2018 af Makrofagen

#2 Nej, jeg ved godt, at du ikke kende min opgave. I første omgang ville jeg bare lige høre, om jeg var på rette vej, det er jo meget rart lige at få bekræftet. :-) Se fil for min A-matrice samt den transponerede + inverse.

Vedhæftet fil:A, transponeret og invers.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. september 2018 af swpply (Slettet)

#4 Du har fundet at løsningen til ligningen

$(1)\qquad\qquad\qquad\qquad\begin{pmatrix}-5 & 11 & 11\\ 1 & 11 & 0 \\ 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

er givet ved

$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{11}{6}t \\ -\frac{1}{6}t \\ t \end{pmatrix}$

Men Mapple siger at løsningen er

$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11t \\ t \\ -6t \end{pmatrix}$ .

Observer nu at Mapples løsning er din løsning bare ganget -6.

Da ligningen (1) er homogen gælder der at hvis $\mathbf{x}$ er en løsning, så er $\alpha\mathbf{x}$ ligeledes en løsning for alle $\alpha\in\mathbb{C}$ .

Det jeg siger er at hvis $\mathbf{x}$ er en løsning til

$\mathbf{M}\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0}$

så gælder der at

$\mathbf{0} = \alpha\cdot\mathbf{0} = \alpha\cdot\mathbf{M}\cdot\mathbf{x} = \mathbf{M}\cdot(\alpha\cdot\mathbf{x})$

Altså er $\alpha\cdot\mathbf{x}$ ligeledes en løsning.

Svar #7
21. september 2018 af Makrofagen

#6 Åh, ja. Selvfølgelig! Det er bare mig, der en klovn. :-) Tak skal du have.

Svar #8
21. september 2018 af Makrofagen

Her er et billede af A-matricen, A^T, A^-1 og A^TA. Beklager kvaliteten.

Vedhæftet fil:42307808_279230476025396_3769199565949894656_n.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #9
21. september 2018 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} \mathbf{A}\mathbf{A}^T& = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 12 \\ 3 & 5 & 14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 12 & 14 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1+4+9 & 2+6+36 & 3+10+42 \\ 2+6+36 & 4+9+144 & 6+15+168 \\ 3+10+42 & 6+15+168 & 9+25+196 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 14 & 44 & 55 \\ 44 & 157 & 189 \\ 55 & 189 & 230 \end{pmatrix} \end{align*}$

Svar #10
21. september 2018 af Makrofagen

Hov, jeg er kommet til at skrive A^TA i stedet for AA^T. Så kan jeg bedre forstå det, men fint, nu passer det. Tak.

Brugbart svar (1)

Svar #11
21. september 2018 af swpply (Slettet)

#10
Hov, jeg er kommet til at skrive A^TA i stedet for AA^T. Så kan jeg bedre forstå det, men fint, nu passer det. Tak.

Ingen skade er større end at du konkret har eftervist at matrix multiplikation ikke er kommutativ ;-)

Fortsat god fornøjelse med matricerne fremover :-)

Svar #12
21. september 2018 af Makrofagen

Haha, jo tak. :-)

Skriv et svar til: Matricer (igen)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.