Matematik

Differentialligninger

16. oktober 2018 af Jens1901 - Niveau: A-niveau

Jeg er lidt på bar bund med alle opgaverne. Hvordan kan jeg finde ud af, hvad den fuldstændige løsning er til opgave a, hvorved jeg herfra kan finde forskriften?

I opg b går jeg ud fra, at jeg skal indsætte 1 mio og sætte den lig med den fundne forskrift og herefter løse for t, men det er lidt svært at gøre, når jeg ikke kan komme videre med #a og løse den..

Nogle, der kan hjælpe mig videre?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-10-16 kl. 14.21.11.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. oktober 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. oktober 2018 af AMelev

Brug dit CAS-værktøj til at løse differentialligningen. Hvilket CAS-værktøj benytter du?

Ja, b løses, som du beskriver.

Brugbart svar (2)

Svar #3
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Delopgave a):

Metode 1:
Begynd med at observere at

$\frac{d}{dt}\text{arcsinh}(t) = \frac{1}{\sqrt{t^2 +1}}$

hvorfor at
$\begin{align*} \frac{dy}{dt} = \frac{y}{\sqrt{t^2 +1}} &\quad\Leftrightarrow\quad e^{-\text{arcsinh}(t)}\frac{dy}{dt} = e^{-\text{arcsinh}(t)}\frac{y}{\sqrt{t^2 +1}} \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{d}{dt}\Big(e^{-\text{arcsinh}(t)}y\Big) = 0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad e^{-\text{arcsinh}(t)}y = C \\ &\quad\Leftrightarrow\quad y = Ce^{\text{arcsinh}(t)} \end{align*}$

Dermed kan du slutte at

$\begin{align*} N(t) = 1000\cdot e^{\text{arcsinh}(t)} \end{align*}$

Metode 2:
Du kan ligeledes løse differentialligningen ved seperation af de variable.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

NB. metode 1 ovenfor er ækvivalent til at bruge panserformlen

Svar #5
16. oktober 2018 af Jens1901

#2 Jeg bruger Maple, men jeg kan ikke få det til at fungere. Kan du hjælpe? :-)

#3 Hvad er arcsinh for noget?

Brugbart svar (2)

Svar #6
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Delopgave b):

$\begin{align*} N(t)> 10^6 &\quad\Leftrightarrow\quad 10^3e^{\text{acrsinh(t)}}>10^6 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \text{acrsinh(t)}>3\ln(10) \\ &\quad\Leftrightarrow\quad t>\sinh\big(3\ln(10)\big) \\ &\quad\Leftrightarrow\quad t> \frac{e^{3\ln(10)} - e^{-3\ln(10)}}{2} \\ &\quad\Leftrightarrow\quad t> \frac{10^3 - 10^{-3}}{2} \\ &\quad\Leftrightarrow\quad t> 499.9995 \end{align*}$

Bemærk at dette er et eksakt resultat, dvs. 499.9995 er et eksakt decimaltal

Brugbart svar (2)

Svar #7
16. oktober 2018 af mathon

$\small \small \begin{array}{lrcll} \textup{ligning}&\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}&=&\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\cdot y\\\\ \textup{separation af variable}&\frac{1}{y}\mathrm{d}y&=&\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d}t\\\\ \textup{som integreres}&\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y&=&\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d} t\\\\ &\ln(y)&=&\sinh^{-1}(t)+C\\\\ &y&=&y_o\cdot e^{\sinh^{-1}(t)}\\\\ &N(t)&=&1000\cdot e^{\sinh^{-1}(t)} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#5
#3 Hvad er arcsinh for noget?

$\text{arcsinh}(x)$ er den inverse funktion til den hyperbolske sinus funktion $\sinh(x)$ .

Du kan evt. læse mere her (link)

Brugbart svar (1)

Svar #9
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Bemærk at svar #7 er metoden seperation af de variable, som der henvises til i svar #3 metode 2.

Desuden gælder der også at

$\sinh^{-1}(t) = \text{arcsinh}(t)$

ligesåvel som at der gælder at

$\sin^{-1}(t) = \arcsin(t)$

$\cos^{-1}(t) = \arccos(t)$

Det er blot to forskellige skrivemåder for den samme funktion. Der er dog tradition for at bruge $\arcsin(x)$ i matematikken eftersom denne funktion er langt mere naturlig at definere end $\sin(x)$ , hvilket selfølgelig er omvendt i forhold til hvad du har lært i matematikundervisningen i gymnasiet.

Brugbart svar (1)

Svar #10
16. oktober 2018 af mathon

c)
$\small \small \small \begin{array}{lrcll} &\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}&=&\frac{N(t)}{\sqrt{t^2-1}}\\\\ &N{\, }'(2)&=& \frac{1000\cdot e^{\sinh^{-1}(2)}}{\sqrt{5}}\\\\ &N{\,}'(2)&=&200\sqrt{5}\cdot 4.23607=1894.4 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
16. oktober 2018 af mathon

b)
$\small t=\sinh\left (\ln(10^3) \right )=499.999$

Svar #12
16. oktober 2018 af Jens1901

Det giver bedre mening nu, men hvordan vil I løse det med et CAS-værktøj? Jeg bruger selv Maple.. Til eksamen er tiden begrænset, så det ville være rart, hvis man også lige kunne finde ud af det den vej igennem.

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=dsolve

Brugbart svar (0)

Svar #14
16. oktober 2018 af AMelev

Jeg kender ikke Maple, men hvis ikke linket i #13 hjælper, så prøv at lave en ny tråd, hvor du spørger specifikt efter hjælp til at løse din differentialligning i Maple.

Brugbart svar (1)

Svar #15
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

$\mathsf{dsolve}\bigg(\bigg\{\frac{d}{dx}y(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot y(x),\ y(0) = 1000\bigg\}\bigg)$

Svar #16
17. oktober 2018 af Jens1901

#15 Mange tak for hælpen! :)

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.