Matematik

Opgave 5 fra eksamenssættet 2004 II

24. oktober 2018 af polit18 - Niveau: Universitet/Videregående

For erthvert x ∈ ]0, ∞[ betragter vi den uendelige række

(Δ) $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(\sqrt{x})^n}$

(1) Bestem det interval I, hvorpå den uendelige række (Δ) er konvergent.

(2) Bestem en forskrift for den funktion f: I --> R, der er defineret ved

$f(x)= \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(\sqrt{x})^n}, x \in I.$

(3) Vis, at funktionen f er monotont aftagende på hele intervallet I.

(4) Bestem værdimængden for funktionen f

(5) Bestem elasticiteten for funktionen f

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Skal jeg lave hele din opgave? Eller vil du fortælle mig hvad der forvolder dig vanskligheder (lad os tage en delopgave af gangen)?

Svar #2
24. oktober 2018 af polit18

Jeg ved at jeg skal bruge de geometriske rækker, men ved ikke hvordan jeg skal gribe det an...

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. oktober 2018 af AskTheAfghan

Hvorfor vælger du at oprette en ny, når du har fået svar i din tidligere tråd? Er du utilfreds med mit svar, kommentér. Ingen grund til at oprette en ny for at få et hurtigere svar. Ved du hvad en geometrisk række helt præcis er?

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Opgave 1)
Hvis du har svært ved at identificere den uendeliger ække (Δ) med den geometriske række, så begynd med at indføre en ny variable

$r = \frac{1}{\sqrt{x}}$

og fra betingelsen $x\in(0,\infty)$ har vi nu at også $r\in(0,\infty)$ . Dermed bliver den uendeliger ække (Δ) udtrykt ved $r$ altså

$\sum_{n=1}^\infty r^n.$

Dette er eksakt en geometriske række, hvorfor at du kan slutte at (Δ) konvergere såfremt at $r\in(0,1)$ og dermed er (Δ) konvergent for $x\in(1,\infty)$ .

Opgave 2)
Fra "teorien" om geometriske rækker har vi at

$\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$

for $r\in(0,\infty)$ . Hvorfor at

$\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \bigg(\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)^n &= \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}} \\ &=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \end{align*}$

for $x\in(1,\infty)$ . Altså kan du slutte at $f:(1,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ defineret ved $x\mapsto\tfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ er sumfunktionen hørende til (Δ).

–– Nu er du blevet sat igang, prøv om du ikke kan takle de sidste tre opgaver ;-)

Svar #5
28. oktober 2018 af polit18

I opgave 3 differentierer jeg f(x) og får

f'(x) = $\frac{-1}{2\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x}-1)^2}$

Hvordan finder jeg ud af at den er aftagende på hele intervallet I.

Skal jeg finde monotoniforholdene ved at sige f'(x)<0 ?

Skriv et svar til: Opgave 5 fra eksamenssættet 2004 II

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.