komplekse tal

nååre, er -i også kvadratroden af -1? 

Du ser det letteste ved en grafisk afbildning. Den er 3π/2

fordi -i = kvardratroden af -1, så er koordinaten (0,-1) på enhedsciklen og så er resultatet 3pi/2 eller??

vil du ikke lige forklare det ?

kvadratrod(-1) = i og altså ikke -i. Det er rigtigt med koordiaten

bliver bare forvirret når der i bogen står:

since i^2=-1, we can think of i as a square root of -1. but notice that we also have (-i)^2= -1 and so -i is also a square root of -1. we say that i is the principal square root of -1 and write √-1=1. 

??? måske misforstår jeg det bare. 

men så er modulus af -i= 3pi/2?

hvordan ved jeg det fra ved at se på enhedscirklen? hvis -i ikke er = √-1? hvor får jeg så koordinaterne fra?

undskyld min forvirring, jeg vil bare virkelig gerne forstå det :)

2² er 4 så kvrod(4)=2. (-2)² er også 4; men man siger ikke at kvdrod(4) = -2. Der er altså en tvetydighed. Man har derfor defineret kvadratrod sådan at det altid er den positive løsning, der giver kvadratroden. Så bliver det entydigt. På samme måde har man defineret kvrod(-1) = i

# 5
Det komplekse tal,
   a + b
hvor a er realdelen og b imaginærdelen,
afbildes i koordinatsystemet, med reel førsteakse og imaginær andenakse, som (a , b) .
Imaginærenheden  gange (- 1)  er det komplekse tal      0 - 1·
og afbildes i punktet (0 , - 1) svarende til arg = ^3π/₂  og modulus 1. (Komplekse tal, der ligger på enhedscirkelperiferien har alle modulus 1, svarende til radius.  

Ligningen x² = a har 0 relle løsninger for a negativ, 1 løsning for a=0 og  2 løsninger for a positiv. Kvadratroden af a er udefineret for a negativ. Hvis a er positiv, f.eks. 4, har man 2 valg, nemlig +2 og -2. Da man foretrækker, at kvadratroden er en funktion, har man valgt at funktionsværdien er +2. Man kan vælge, at kvadratroden i stedet skal være en afbildning, hvor billedværdien i stedet er mængden {-2,+2}, men det gør man normalt ikke i dag. Det gjorde man i min skoletid.

I de komplekse tal er situationen en anden. Lader man z gennemløbe enhedscirklen 1 gang rundt, vil w=z² gennemløbe enhedscirklen 2 gange. Hvis man vil have kvadratroden af w, har man altså 2 kandidater. Da de komplekse tal, i modsætning til de reele tal, ikke kan ordnes, kan man ikke vælge, at det er den "positive værdi", der skal være funktionsværdien. "Positiv værdi" giver ingen mening i de komplekse tal. Derfor kan kvadratroden kun defineres som en afbildning med så i de komplekse tal er kvadratroden af -1 mængden {i,-i}.

Riemann fik den idet, at man kunne forestille sig, at man tog to stykker papir, det ene oven på det andet, og klippede langs den positive del af den reelle akse ind til 0. Derefter limede man de to stykker sammen, så man ved passagen skiftede fra det ene ark til det andet ved passagen af den relle akse og tilbage, når man kom en gang mere rundt. (Det kan ikke lade sig gøre i praksis, for man skal lime to steder, og når man har limet det ene sted, er der ikke plads til den anden limning.) Pladen, de to stykker papir danner, kaldes en Riemannflade.

På siden https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Riemann_surface_sqrt.jpg er der et billede af Riemannfladen. Bemærk, at det er underordnet, hvor snittet lægges, blot det går ind til 0.