Matematik

Det sejeste bevis for differentialkvotient

12. december 2018 af migderlæsermatematik - Niveau: A-niveau

Hej derude

Jeg sidder og laver dispositioner til min mat eksamen og jeg skal bevise differentialkvotienten for udvalgte funktioner. Jeg har generelt ok nemt ved matematik, og derfor vil jeg spørge om nogen af jer har nogle anbefalinger til, hvilke jeg burde vise for at vise mig fra min bedste side?

På forhånd tak til jer dejlige mennesker, som bruger tid på at hjælpe andre mennesker.

De bedste hilsner herfra


Brugbart svar (0)

Svar #1
12. december 2018 af AMelev

Du kan starte med en af de simpe (k, ax + b eller x2), så du er godt i gang.
Derudover kan du se, om nogle i dette link falder i din smag.


Svar #2
12. december 2018 af migderlæsermatematik

#1

Du kan starte med en af de simpe (k, ax + b eller x2), så du er godt i gang.

Men er der nogle sværere, som du vil anbefale? Jeg har pt været i gang med at kigge på reciprokfunktionen og kvadratrodsfunktionen, men de virker umiddelbart ikke særligt avancerede nemlig. 


Brugbart svar (0)

Svar #3
12. december 2018 af AMelev

Følg linket og kig videoerne igennem - du får dem ikke sværere end dem, der er der - matematik er jo nemt :).
Vælg nogle stykker ud, hvor det ikke er tretrinsreglen, der anvendes til bevidstløshed.
Vis fx (xa)' og brug den til √x og brug fx brøkreglen til 1/x osv.


Brugbart svar (0)

Svar #4
12. december 2018 af oppenede

xa er oplagt som eksempel hvor tretrinsreglen ikke benyttes.

En mulighed med tretrinsreglen er at lade det være kendt at e^x er monoton og er sin egen afledede.
Så findes der en invers som du kan kalde \ln hvis afledede følger af de nævnte egenskaber:
  \\\text{\tiny\color{White}0} \\[-0.03cm]\ln'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h} \\\phantom0\hspace{0.8cm}=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{e^{\ln(x+h)}-e^{\ln(x)}}\hspace{0.85cm}\text{da }\;h=x+h-x=e^{\ln(x+h)}-e^{\ln(x)} \\[-0.1cm] \tiny\color{White} 0 
Definer k og y som  k=\ln(x+h)-\ln(x),\quad y=\ln(x)
Dermed kan brøken skrives som
  \\\text{\tiny\color{White}0} \\[-0.03cm] \ln'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{k}{e^{y+k}-e^{y}}\\[-0.2cm] \tiny\color{White} 0
Brøken afhænger kun af h via k, og k går monotont mod 0 når h går mod 0 (da ln som invers til en monoton funktion selv er monoton). Derfor får man samme resultat ved at erstatte h->0 med k->0.
  \\\text{\tiny\color{White}0} \\[-0.03cm] \ln'(x) = \lim_{k\to 0}\frac{k}{e^{y+k}-e^{y}}= \left(\lim_{k\to 0}\frac{e^{y+k}-e^{y}}{k}\right)^{-1}=\exp'(y)^{-1}=1/e^{\ln(x)}=1/x


Skriv et svar til: Det sejeste bevis for differentialkvotient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.