Matematik

n'te gradspolynomium

17. december 2018 af WilliamTK - Niveau: A-niveau

Hej alle, jeg havde stor succes med et spørgsmål for et par dage siden og jeg håber at det også gør sig gældende denne gang!

Opgaven er at vise, at for n'te gradspolynomium er n'te ordens differenserne konstante. Dette gøres ved hjælp af nedenstående deltrin

1) Betragt polynomiet f(x)=a_xxⁿ+ a_n-1x^n-1+...+a₀, a_n skal være forskellig for 0. lad skridtlængden være h. Vis, at 1. ordens differenserne i x, delta f(x)=f(x+h)-f(x), er et polynumium af grad n-1 i x. Prøv eventuelt først med et eksempel.

2) Argumenter for, at for hver ny orden af differenser i x aftager polynomiets grad med 1, og brug dette til at vise det ønskede

Nogen ideér? På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. december 2018 af peter lind

Brug biomialformlen på (x+h)ⁿ

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. december 2018 af swpply (Slettet)

Du har at

$f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$

og dermed iflg. binomialsætningen har du at

$\begin{align*} f(x+h) &= \sum_{k=0}^na_k(x+h)^k \\ &= \sum_{k=0}^na_k\sum_{j=0}^k{k\choose j}h^jx^{k-j} \\ &= \sum_{k=0}^na_k\Bigg(x^k + \sum_{j=1}^k{k\choose j}h^jx^{k-j}\Bigg) \\ &= \underbrace{\sum_{k=0}^na_kx^k}_{f(x)} + \underbrace{\sum_{k=1}^na_k\underbrace{\sum_{j=1}^k{k\choose j}h^jx^{k-j}}_{\text{grad } k-1}}_{\text{grad } n-1} \end{align*}$

og dermed har du at

$\begin{align*} \Delta f(x) &= f(x+h) - f(x) \\ &= \sum_{k=0}^n\sum_{j=1}^k{k\choose j}a_kh^jx^{k-j} \end{align*}$

hvilket er et polynomium af grad n-1

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Jeg kan se at peter lind kom mig i forkøbet.

Svar #3
17. december 2018 af WilliamTK

Tak for respons! Kan i så fortælle mig hvad disse har at gøre med konstruktionen af logaritmer?

Svar #4
17. december 2018 af WilliamTK

Hvordan vil det se ud i mit specifikke tilfælde?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. december 2018 af swpply (Slettet)

#4
Hvordan vil det se ud i mit specifikke tilfælde?

Svar #2 er præcist en besvarelse af din delopgave 1).

Svar #6
17. december 2018 af WilliamTK

Jeg kan umiddelbart ikke lige se nogen sammenhæng... Vil du forklare?

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. december 2018 af swpply (Slettet)

Hvor i svar #1 er det du ikke ser nogen sammenhæng med delopgave 1) i #0 ?

Svar #8
17. december 2018 af WilliamTK

Jeg kan ikke helt finde ud af at anvende formlen, det er der problemet er.

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. december 2018 af swpply (Slettet)

Hvilken formel?

Brugbart svar (1)

Svar #10
17. december 2018 af swpply (Slettet)

Er du med på at du kan skrive

$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x + a_0$

som

$f(x) = \sum_{k=0}^na_kx^k,$

samt at binomialsætningen giver os at

$(x+h)^k = \sum_{j=0}^k{k\choose j}x^{k-j}h^j$

Svar #11
17. december 2018 af WilliamTK

Det er fordi jeg ikke kan finde ud af at anvende binomialsætningen på mit polinomium. Dvs finde ud af hvordan jeg fx laver min eksponent n om til den der står i binomialsætningen hvor eksponenten er k.

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. december 2018 af swpply (Slettet)

#11 Det er jo bare et spørgsmål om navngivning. Der er intet regning eller matematik involveret i dette.

Jeg kan heler ikke forstå hvorfor at du ønsker at fortage denne omskrivning. Formen jeg har skrevet binomialsætningen på i #10 er præcist den form med notation of hele baduljen du bør bruge, så det er bare et sprøgsmål at tage den og indsætte den.

Brugbart svar (1)

Svar #13
17. december 2018 af swpply (Slettet)

Du har at

$f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k,$

hvorfor at

$f(x+h) = \sum_{k=0}^n a_k(x+h)^k.$

Binomialsætningen giver os i mellemtiden at

$(x+h)^k = \sum_{j=0}^k{k\choose j}x^{k-j}h^j.$

Dermed har du altså at

$f(x+h) = \sum_{k=0}^na_k\sum_{j=0}^k{k\choose j}x^{k-j}h^j,$

er dette klart for dig??

Svar #14
17. december 2018 af WilliamTK

Nu forstår jeg, tusinde tak for din tid og hjælp. Du må have en fortsat god aften.

Brugbart svar (0)

Svar #15
17. december 2018 af swpply (Slettet)

Tak WilliamTK og i lige måde :o)

Svar #16
19. december 2018 af WilliamTK

Og hvordan viser dette at et n'te gradspolynomium er n'te ordens differense konstante?

Svar #17
19. december 2018 af WilliamTK

Det jeg konkret spørger om er hvorfor j skrifter fra at være j=0 til j=1 i svar nr. 2

Brugbart svar (0)

Svar #18
19. december 2018 af peter lind

for j =0 får man x^k, som er flyttet ud for sig selv

Svar #19
19. december 2018 af WilliamTK

Hvordan kan man tillade sig at gøre det? Er det fordi den er sat i parentes?

Brugbart svar (1)

Svar #20
19. december 2018 af swpply (Slettet)

Nej, det er fordi at

$\sum_{j=0}^k{k\choose j}h^jx^{k-j}$

er en ganske almindelig sum, hvorfor at der gælder at

$\begin{align*} \sum_{j=0}^k{k\choose j}h^jx^{k-j} &= {k\choose 0}h^0x^{k-0} + \sum_{j=1}^k{k\choose j}h^jx^{k-j} \\ &= x^k + \sum_{j=1}^k{k\choose j}h^jx^{k-j} \end{align*}$ .

Med andre ord, der gælder de samme regneregler som du kender fra de reelle tal.

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.