Matematik

f(x)=(x-7)*e^(-x)

04. januar 2019 af ichiru - Niveau: B-niveau

Hej alle

En funktion er f givet ved f(x)=(x-7)*e^(-x)

Hvordan ville man opstille en ligning for tangenten til grafen f i punktet P(2,f(2))

har ikke lige arbejdet med den slags ligning før så jeg ville blive glad hvis nogen kunne forklare mig det :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Du har at

$f(x) = (x-7)e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad f^\prime(x) = (8 - x)e^{-x}$

Dermed er hældningen af tangenten til grafen for f i punktet (2, f(2)) givet ved

$f^\prime(2) = 6e^{-2}$

Altså er ligningen for tangenten til grafen for f i punktet (2, f(2)) givet ved

$y = 6e^{-2}x + b$

for at bestemme b bruger du at punktet (2, f(2)) ligger på tangentlinjen, hvorfor at du har

$f(2) = 12e^{-2} + b \quad\Longleftrightarrow\quad b = -17e^{-2}$

Altså er

$y = (6x - 17)\cdot e^{-2}$

ligningen for tangentlinjen.

Svar #2
09. januar 2019 af ichiru

Hvordan bliver det (8-x)

Brugbart svar (1)

Svar #3
09. januar 2019 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} f^\prime(x) &= e^{-x} - (x-7)e^{-x} \\ &= (1-x+7)e^{-x} \\ &= (8-x)e^{-x} \end{align*}$

hvor det første lighedstegn følger ved produktreglen for differentation.

Svar #4
09. januar 2019 af ichiru

Tak nu forstår jeg. Dog er jeg løbet ind i et mindre problem med monotoniforholdene for grafen f, da den umilddelbart bare går i en bue. så den vokser vel fra uendeligt til uendelig??

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. januar 2019 af swpply (Slettet)

Nej, jeg vil nu vove at påste at $(8-x)=0$ såfremt at $x=8$ , hvorfor at nulreglen giver os at

$f^\prime(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x = 6$

eftersom at $e^{-x}\geq0$ for samtlige $x\in\mathbb{R}$ .

Du kan nu vise at $f^\prime(x)>0$ for $x<8$ samt at $f^\prime(x)<0$ for $x>8$ . Hvorfor at $f(x)$ har er voksene for samtlige $x<8$ og $f(x)$ er aftagende for samtlige $x>8$ , altså ar $f(x)$ globalt maksimum i $x=8$ .

Skriv et svar til: f(x)=(x-7)*e^(-x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.