Artimetikkens fundamentalsætning - BEVIS

14. I denne og den neste oppgaven skal vi bevise aritmetikkens fundamentalteorem. Vi begynner med den letteste delen: Vis at ethvert naturlig tall større enn 1 kan skrives som et produkt av primtall. (Hint: Anta at påstanden ikke er sann, og la N være det minste tallet som ikke kan skrives som et slikt produkt. Utled en selvmotsigelse.)

15. Dette er en fortsettelse av oppgave 14. Vi skal vise at ethvert naturlig tall større enn 1 kan skrives som et produkt av primtall på bare én måte. Anta for motsigelse at dette ikke er riktig, og la N være det minste tallet som kan skrives som et slikt produkt på mer enn en måte.

a) Vis at N ikke er et primtall.

I resten av denne oppgaven lar vi N = p 1 p 2 . . . p m og N = q 1 q 2 . . . q n være to forskjellige primtallsfaktoriseringer av N, og antar at faktorene er ordnet slik at p 1 ≤ p 2 ≤ · · · ≤ p m og q 1 ≤ q 2 ≤ · · · ≤ q n .

b) Vis at alle p-ene er forskjellig fra alle q-ene.

c) Vis at q 1 ikke deler p 2 p 3 . . . p n . (Hint: I så fall ville p 2 p 3 . . . p m ha to forskjellige primtallsfaktoriseringer.)

d) Vis at N − p 1 q 1 > 1.

e) Vis at N −p 1 q 1 har to forskjellige primtallsfaktoriseringer. Forklar hvorfor dette beviser påstanden.

NB opgaveteksten er på norsk.