Matematik

Bestem en forskrift

26. februar 2019 af Imhotep (Slettet) - Niveau: A-niveau

Der er to delopgaver i denne opgave, hvoraf den ene giver mig nogle problemer.

Til et kar med vand tilføres hver time 4 L saltvand med en saltkoncentration på 0.3 kg/L. Samtidig tappes der 6 L væske pr. time fra karret. I en model er saltmængden i karret S (målt i kg) som funktion af tiden t (målt i timer) en løsning til differentialligningen: $\frac{ds}{dt}=1.2-\frac{6\cdot s}{100-2t}, 0\leq t < 50$ .

Karret indehodler ingen salt til tidspunktet $t=0$ .

Jeg skal bestemme en forskrift for $S(t)$ . Jeg har prøvet at bruge dsolve i maple, $dsolve([s'=1.2-\frac{6s}{100-2t},s(0)=0)],s,t)$ , som siger at t er overflødig (efter den sidste kantede parentes). Når jeg gør sådan her, $dsolve([s'=1.2-\frac{6s}{100-2t},s(0)=0)],s)$ , får jeg et ubrugeligt resultat. Hvordan bestemmer jeg forskriften for s(t)?

Ifølge https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1683015 er forskriften $S(t)=30-\frac{3}{5}\cdot t+\frac{3}{12500}\cdot (t-50)^3$ , dog er fremgangsmåden uoplyst.

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. februar 2019 af AMelev

Hvis Maple-ordren ligner TI-Nspires, skal du skrive t,s i stedet for s,t, men jeg kender ikke Maple, så det er rent gæt.

Svar #2
26. februar 2019 af Imhotep (Slettet)

#1
Hvis Maple-ordren ligner TI-Nspires, skal du skrive t,s i stedet for s,t, men jeg kender ikke Maple, så det er rent gæt.

Det gør desværre ingen forskel :/

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. februar 2019 af AMelev

Prøv lige at skrive s'(t) og s(t) i stedet for bare s' og s.
Se evt. denne video.

Svar #4
26. februar 2019 af Imhotep (Slettet)

#3
Prøv lige at skrive s'(t) og s(t) i stedet for bare s' og s.
Se evt. denne video.

Det gør ingen forskel. Jeg tror s(0) skal være anderledes, idet hvis man dsolver ligningen med en positiv s(0), fås et bedre resultat. Spørgsmålet er nu hvad s(0) skal være lig med.

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. februar 2019 af Soeffi

#0. Prøv evt.:

...du har en løs parentes et sted!

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-02-26 kl. 21.30.47.png

Svar #6
26. februar 2019 af Imhotep (Slettet)

#5
#0. Prøv evt.:

...du har en løs parentes et sted!

Tak, men er det det rigtige resultat?

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. februar 2019 af Soeffi

#6. Nej, desværre. Jeg lavede en fejl med t. Prøv i stedet:

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-02-26 kl. 21.55.22.png

Svar #8
27. februar 2019 af Imhotep (Slettet)

#7
#6. Nej, desværre. Jeg lavede en fejl med t. Prøv i stedet:

For mig virkede $dsolve([s'(t)=1.2-\frac{6\cdot s(t)}{100-2\cdot t},s(0)=0)],s(t))$ uden $\frac{d}{dt}$ . Tak for hjælpen.

Svar #9
27. februar 2019 af Imhotep (Slettet)

I den anden opgave hvor jeg skal bestemme tidspunktet, hvor der er mest salt i karret har jeg gjort følgende:

$s(t)=30-\frac{3t}{5}+\frac{3(-50+t)^3}{12500}$

$s'(t)=-\frac{3}{5}+\frac{9(-50+t)^2}{12500}$

$-\frac{3}{5}+\frac{9(-50+t)^2}{12500}=0$

$t=50+\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}, t=50-\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$

Jeg får to resultater, hvad har jeg gjort galt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
27. februar 2019 af Soeffi

#9. Husk at t skal være mindre end 50!
Du skal også - for en ordens skyld - undersøge yderpunkterne: t = 0 og t = 50.

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. februar 2019 af oppenede

#9
I den anden opgave hvor jeg skal bestemme tidspunktet, hvor der er mest salt i karret har jeg gjort følgende:

$s(t)=30-\frac{3t}{5}+\frac{3(-50+t)^3}{12500}$

$s'(t)=-\frac{3}{5}+\frac{9(-50+t)^2}{12500}$

$-\frac{3}{5}+\frac{9(-50+t)^2}{12500}=0$

$t=50+\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}, t=50-\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$

Jeg får to resultater, hvad har jeg gjort galt?

Maksimum er et randpunkt (t = 0 eller t = 50) eller et sted hvor hældningen er 0:
$\small t=50+\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\quad\ ,\ \quad t=50-\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$

på hvilken baggrund der kun er 4 muligheder. Derudover siger opgaven at 0 ≤ t < 50, hvilket udelukker den første af løsningerne for ligningen s'(t) = 0.

Indsæt de 3 muligheder i s(t) og konstater hvilken der giver det højeste. Evt. kan flere af dem give det samme som det højeste.

Svar #12
27. februar 2019 af Imhotep (Slettet)

#11
#9
I den anden opgave hvor jeg skal bestemme tidspunktet, hvor der er mest salt i karret har jeg gjort følgende:

$s(t)=30-\frac{3t}{5}+\frac{3(-50+t)^3}{12500}$

$s'(t)=-\frac{3}{5}+\frac{9(-50+t)^2}{12500}$

$-\frac{3}{5}+\frac{9(-50+t)^2}{12500}=0$

$t=50+\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}, t=50-\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$

Jeg får to resultater, hvad har jeg gjort galt?

Maksimum er et randpunkt (t = 0 eller t = 50) eller et sted hvor hældningen er 0:
$\small t=50+\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\quad\ ,\ \quad t=50-\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$

på hvilken baggrund der kun er 4 muligheder. Derudover siger opgaven at 0 ≤ t < 50, hvilket udelukker den første af løsningerne for ligningen s'(t) = 0.

Indsæt de 3 muligheder i s(t) og konstater hvilken der giver det højeste. Evt. kan flere af dem give det samme som det højeste.

$t=50-\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$ , som approksimeret giver $21.131$ indsat i $s(t)=30-\frac{3t}{5}+\frac{3(-50+t)^3}{12500}$ giver 11.54700534, som er det højeste sammenlignet med de to andre muligheder, der begge giver 0.

Vil det så sige at der til tiden $t=21.131$ vil være mest salt i karret?

Brugbart svar (0)

Svar #13
27. februar 2019 af AMelev

Tjek med dit grafværktøj. Tegn s(t) og find max.

Svar #14
27. februar 2019 af Imhotep (Slettet)

#13
Tjek med dit grafværktøj. Tegn s(t) og find max.

Jeg vil sige den har et lokalt maksimum omkring de 15 stykker, men det er vel tæt nok på 11,,,

Brugbart svar (0)

Svar #15
28. februar 2019 af AMelev

#9 Bem. $s'(t)=\frac{ds}{dt}={\color{Red} 1.2-\frac{6\cdot s(t)}{100-2t}}, 0\leq t < 50.$ , så du kunne bare løse ligningen ${\color{Red} 1.2-\frac{6\cdot s(t)}{100-2t}}=0$ i intervallet 0 ≤ t < 50.

# 14 Nej, det er alt for langt fra. Hvordan ser din graf ud? Kan du ikke bestemme max med dit grafværktøj?
Se evt. vedhæftede.

Vedhæftet fil:Billede.jpg

Skriv et svar til: Bestem en forskrift

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.