Matematik

Taylorpolynomum for tanh(x)

27. februar 2019 af Herstall - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har fået til opgave at bestemme det tredje grad for tanh(x) med udviklingpuktet x=0. Jeg ved at jeg skal differentiere 3 gange. Jeg har kun kunnet differentiere den første, altså f'(x). Det volder problemer når jeg skal til at differentiere henholdsvis f''(x) og f'''(x). Mit bud er følgende:

$f(x)=tanh(x)$

$f'(x)=1-tanh(x)$

$f''(x)=1-(1-tanh(x))$

$f'''(x)=1-(1-(1-tanh(x)))$

er det korrekt forstået eller skal jeg gøre det på en anden måde?

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. februar 2019 af peter lind

f'(x) = cosh(x)^-2 = 1-tanh²(x)

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. februar 2019 af Eksperimentalfysikeren

f''(x) = 1-(1-tanh(x)) = 1 - 1 + tanh(x) = tanh(x)

Brugbart svar (2)

Svar #3
27. februar 2019 af oppenede

tanh har ulige symmetri i x=0, dvs. tanh''(0) = 0.

For den førsteafledede brug kvotientreglen:
$\small \left(\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}\right)'=\frac{\cosh(x) \sinh'(x)-\sinh(x) \cosh'(x)}{\cosh(x)^2}=1-\tanh(x)^2$ som i x=0 er 1.
eller
$\small \left(\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1} \right )'=\frac{2 e^{2 x} \left(e^{2 x}+1\right)-2 e^{2 x} \left(e^{2 x}-1\right)}{\left(e^{2 x}+1\right)^2}=\frac{4 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}+1\right)^2}$ som i x=0 er 1.

For den tredjeafledede differentieres 1 - tanh(x)² to gange med produktreglen:
Først: $\small -2 \tanh(x) \tanh'(x)$
Da:

i x=0 er tanh(x) = 0, tanh'(x) = 1, tanh''(0) = 0, dvs. tanh'''(0) = -2.

Hvor har du fra at ???????

Svar #4
28. februar 2019 af Herstall

Hov har glemt at sætte mine tanh(x) i anden.

Oppenede, hvordan finder jeg for den andenafledede?

Brugbart svar (1)

Svar #5
28. februar 2019 af oppenede

#3
tanh har ulige symmetri i x=0, dvs. tanh''(0) = 0.
......................
Først:

, som er 0 i x=0, da tanh(0) = 0.

Svar #6
28. februar 2019 af Herstall

Jeg har altså forstået det som:

$f(x)=tanh(x)$

$f'(x)=1-tanh^2(x)$

$f''(x)=-2tanh(x)*1-tanh^2(x)$ $\rightarrow$ $f''(x) = -2tanh(x)*tanh'(x)$

$f'''(x) = -2(1-tanh^2(x))*tanh(x)-2*(1-tanh^2(x))$ $\rightarrow$ $f'''(x)=-2tanh'(x)^2*tanh(x)-2tanh'(x)^2$

Svar #7
28. februar 2019 af Herstall

Jeg er med dig indtil f''(x) men jeg får f'''(x) til noget helt andet end dig

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. februar 2019 af oppenede

Det udtryk du har skrevet for  er den afledede af
   $-2\tanh(x)*1-\tanh(x)^2$
som ikke er lig  da der om den gælder
$f''(x)=-2\tanh(x)(1-\tanh(x)^2)$

Men inden differentieres, så skriv den som da dette udtryk er simplere at diffentiere, idet der for enhver tilstrækkeligt mange gange differentiabel funktion h gælder at
$\frac{d}{dx}(-2h(x)h'(x))=-2h(x)h''(x)-2h'(x)^2$

Og for h = tanh, er h(0), h'(0), og h''(0) allerede bestemt.

Svar #9
28. februar 2019 af Herstall

det blev en del lettere med den metode :)

jeg har nu fundet det taylorpolyomier $P_3$ af tredje grad til at være: $P_3=x-\frac{x^3}{3}$

mit spørgsmål er nu om jeg finder det tredjre grad ved at differentiere f(x) 3 gange ligesom vi har diskuteret ovenover eller ved at have tre led i selve taylorpolynomiet?

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. marts 2019 af oppenede

#9
mit spørgsmål er nu om jeg finder det tredjre grad ved at differentiere f(x) 3 gange ligesom vi har diskuteret ovenover eller ved at have tre led i selve taylorpolynomiet?

Jeg fatter ikke hvad du skriver, men jeg har svaret i en anden tråd som måske er samme opgave som din.

Skriv et svar til: Taylorpolynomum for tanh(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.