Matematik

Vektorer i rummet

14. marts 2019 af Emil0001 - Niveau: A-niveau

Håber at I kan hjælpe med denne her opgave

Loftet udgøre af en skrå trekant-formet flade mærket ABC hvor:

A=(0,0,2), B=(2,0,3) og C=(0,4,2,5)

a. Opstil en parameterfremstilling for loftet.

Hvordan kanm man gøre det?

b. Opstil en parameterfremstilling for væggen ABD.

c. Opstil en parameterfremstilling for skæringslinjen AB mellem loftet og væggen.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-03-14 kl. 18.23.34.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. marts 2019 af peter lind

Brug at AB×AC er normalvektor til planen

Eller at AB og AC kan bruges som retningsvektorer til en parameterfremstilling

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. marts 2019 af AMelev

a. $\overrightarrow{AB}\: \textup{og}\: \overrightarrow{AC}$ er udspændende vektorer. Indsæt dem og et af punkterne fx A i parameterfremstillingen for planen.

b. For væggen er $\overrightarrow{AB}\: \textup{og}\: \overrightarrow{AD}$ udspændende vektorer. Indsæt dem og fx punktet A i parameterfremstillingen for planen.

c. Omskriv den ene parameterfremstilling til en ligning for planen jf. #1. Indsæt parameterudtrykkene for x, y og z i ligningen og løs den mht. fx t. Indsæt den fundne værdi i parameterfremstillingen, så der fremkommer en parameterfremstilling for skæringslinjen.

Alternativt:
Kald parametrene noget forskelligt i de to parameterfremstillinger, fx s og t i a. og p og q i b.
Sæt højresiderne i de to parameterfremstillinger lig med hinanden og løs de tre ligninger mht. s, p og q. Indsæt i den ene af parameterfremstillingerne, så der fremkommer en parameterfremstilling for skæringslinjen.

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. marts 2019 af mathon

$\small \normal \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\1 \end{pmatrix}$ $\small \normal \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 0\\ 4 \\0.5 \end{pmatrix}$

$\small \normal \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \\-8 \end{pmatrix}$

En parameterfremstilling
for loftplanen, når P(x,y,z) er et vilkårligt punkt i loftplanen:

$\small \normal \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}+t\cdot \overrightarrow{AB}$

$\small \normal \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0\\4 \\ 0.5 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2\\0 \\1\end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. marts 2019 af mathon

$\small \normal \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2\\ 0 \\-1 \end{pmatrix}$ $\small \normal \overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\-1.2 \end{pmatrix}$

$\small \normal \overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix} 0\\ 2.4\\0 \end{pmatrix}$

En parameterfremstilling
for væggen ABD, når Q(x,y,z) er et vilkårligt punkt i væggen ABD:

$\small \normal \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OB}+p\cdot \overrightarrow{BD}+q\cdot \overrightarrow{BA}$

$\small \normal \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 2 \end{pmatrix}+p\cdot \begin{pmatrix} 0\\0 \\ -1.2 \end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix} -2\\0 \\-1\end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. marts 2019 af mathon

En retningsvektor
for planernes skæringslinje
er:
$\normal\overrightarrow{r}=\left ( \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB} \right )\times\left ( \overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BA} \right )=\begin{pmatrix} 1\\1 \\ -8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\\2.4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19.2\\0 \\ 2.4 \end{pmatrix}$

En parameterfremstilling
for skæringslinjen mellem loft og væg, når R(x,y,z) er et vilkårligt punkt på denne
er:

$\small \small \normal \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OA}+k\cdot \overrightarrow{r}$

$\normal \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 2 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix} 19.2\\0 \\ 2.4 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. marts 2019 af mathon

$\small s,t,p,q \textup{ og } k\in\mathbb{R}$

Skriv et svar til: Vektorer i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.