Matematik

Monotoniforhold

26. april 2019 af assume - Niveau: A-niveau

En funktion er givet ved

$f(x)=x^{4}-x^{2}+1, -2\leq x\leq 2$

Bestem grafens skæringspunkter med akserne, grafens toppunkter og funktionens monotoniforhold. Bestem globalt maksimum og globalt minimum.

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. april 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} f(x)=x^4-x^2+1\qquad -2\leq x\leq 2\\\\ \textup{sk\ae ring med y-aksen }\\ \textup{kr\ae ver x=0 dvs i}&(0,1)\\\\ \textup{sk\ae ring med x-aksen }\\ \textup{kr\ae ver bl.a.}&x^4-x^2+1=0\\\\ \textup{som er en forkl\ae dt }\\ \textup{andengradsligning med}\\ \textup{negativ determinant}\\ \textup{dvs \textbf{uden} x-aksesk\ae ring.}\\\\ \textup{differentialkvotienten}&f{\, }'(x)=4x^3-2x=4x\left ( x^2-\frac{1}{2} \right )=4x(x+\frac{\sqrt{2}}{2})(x-\frac{\sqrt{2}}{2})\\\\ \textup{ekstrema kr\ae ver:}&f{\, }'(x)=0\\\\ &4x(x+\frac{\sqrt{2}}{2})(x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0\\\\ &x=\left\{\begin{matrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.\\\\ \textup{hvorfor monotoniintervallerne}\\ \textup{er:}&\left [ -2;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ]\quad\left [ -\frac{\sqrt{2}}{2};0 \right ]\quad\left [ 0;\frac{\sqrt{2}}{2} \right ]]\quad\left [ \frac{\sqrt{2}}{2};2 \right ] \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. april 2019 af mathon

$\textup{fortegnsvariation}$
$\textup{for }f{\, }'(x)\textup{:}$    $-$       $0$      +    $0$ $-$       $0$    +
$\textup{x-variation:}$ $-2$ _________ $-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ _________ $0$ _________ $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ _________ $2$
$\textup{ekstrema:}$      $\small \textup{glo max}$    $\small \textup{glo min}$       $\small \textup{lok max}$    $\small \textup{glo min}$     $\small \textup{glo max}$
$\textup{monotoni}$
$\textup{for }f(x)\textup{:}$    $\searrow$    $\nearrow$       $\searrow$       $\nearrow$

$\small \textup{da }f(-x)=f(x)$

Skriv et svar til: Monotoniforhold

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.