Matematik

Tredjegradspolynomium

27. april 2019 af NW12 - Niveau: B-niveau

Halløj! Jeg sidder med denne her opgave som jeg ikke helt ved hvordan man skal regne ud.

Opgave lyder: Undersøg, om 2 er løsningen til ligningen: x³-5x²+3x+6=0

Jeg skal kunne regne dem uden hjælpemidler, så hvis der er nogen som kan hjælpe ville det være skønt!

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. april 2019 af mathon

$\small x^3-5x^2+3x+6=0$

$\small 2^3-5\cdot 2^2+3\cdot 2+6=0$

hvorfor x = 2 er en løsning.

Svar #2
27. april 2019 af NW12

Tusind tak! Men hvorfor er det vi sætter 2 ind i formlen?

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. april 2019 af mathon

En løsning er lig med en rod.

En rod er en talværdi, som indsat for den variable - på den variables plads - i polynomiet giver værdien nul.

Svar #4
27. april 2019 af NW12

Så jeg sætter min rod ind som er 2?

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. april 2019 af mathon

Du indsætter 2 for at undersøge om 2 er en rod.

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. april 2019 af ringstedLC

Undersøg, om 2 er løsningen til ..., og ikke: Undersøg, om 2 er en løsning ...

Det er korrekt, at 2 er en løsning, men det bør også undersøges om 2 er den eneste løsning:

$\begin{align*} x^3-5x^2+3x &= -6 \\ f(x) &=x^3-5x^2+3x+6\Downarrow \\ f'(x) &= 3x^2-10x+3 \\ 3x^2-10x+3 &= 0\Downarrow \\ x=\tfrac{1}{3}&\vee x=3 \\ f(\tfrac{1}{3}) &= \left (\tfrac{1}{3}\right )^3-5\cdot \left (\tfrac{1}{3}\right )^2+3\cdot \tfrac{1}{3}+6\Downarrow \\ &= \tfrac{1}{3\cdot 3\cdot 3}-\tfrac{5\cdot 1\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3} +\tfrac{3\cdot 1\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3} +\tfrac{6\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}\Downarrow \\ &= \tfrac{1-15+27+162}{3\cdot 3\cdot 3}=\tfrac{175}{27}>0 \\ f(3) &= 3^3-5\cdot 3^2+3\cdot 3+6\Downarrow \\ &= 27-45+9+6=-3<0 \\ f_{lok. \: maks}>0&\wedge f_{lok.\: min}<0 \end{align*}$

Da polynomiets ekstrema er henholdsvis større og mindre end nul, har det tre løsninger. Derfor er 2 ikke løsningen.

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. april 2019 af mathon

$\textup{Da x=2 er rod i}$
$\small x^3-5x^2+3x+6$
$\textup{er:}$
$\small x^3-5x^2+3x+6=(x-2)(x^2-3x-3)$

$\textup{og dermed:}$
$\small x^2-3x-3=0$
$\textup{for}$
$x=\left\{\begin{matrix} \frac{3-\sqrt{21}}{2}\\\frac{3+\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right.$

$\small x^3-5x^2+3x+6=0$
$\textup{har derfor r\o dderne:}$

$x=\left\{\begin{matrix} \frac{3-\sqrt{21}}{2}\\0\\\frac{3+\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. april 2019 af mathon

korrektion:
$x=\left\{\begin{matrix} \frac{3-\sqrt{21}}{2}\\2\\\frac{3+\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right.$

Skriv et svar til: Tredjegradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.