Gammelt eksamensspørgsmål

Opløft ligninen i 2 potens

Isoler den herved fremkomne kadratrod

opløft igen til anden til anden potens

Vær opmærksom på at ved opløftningen til 1. potens kan der komme falske løsniger så gør prøve

#0. Jeg glemte at sige, at dette spørgsmål er halvdelen af et eksamenssæt!

#0. Man ser først på forhåndsbetingelserne:

Udtrykket:......viser, at x ≥ 0, da kvadratroden af 2ax - a² er positiv, og da negativ minus positiv er negativ.

Højresiden x - a/2 viser, at x ≥ a/2, da venstresiden er en sum af kvadratrødder, der altid er positiv. Det samme fås af (2ax - a²)-udtrykket i den indre kvadratrod. Sidstnævnte viser også, at a ≥ 0, da negativt a gange positivt x vil give negativt produkt og negativt tal minus a² vil give negativ differens, da a² er positiv.

Dvs. a ≥ 0 og x ≥ a/2 ≥ 0. Man laver følgende omskrivning af venstre side:

For a ≥ x ≥ a/2 får man ligningen: √(2a) = x - a/2 ⇔ x = √(2a) + a/2

For x ≥ a får man ligningen: 2√(x - a/2) = x - a/2 ⇔ x = 4 + a/2

Sammenholder man betingelser med løsning fås:

1) a ≥ x ≥ a/2 ∧ x = √(2a) + a/2 ⇒ a ≥ √(2a) + a/2 ≥ a/2 ∧ x = √(2a) + a/2 ⇔ a² ≥ 8·a ≥ 0 ∧ x = √(2a) + a/2 ⇔ (a = 0 ∧ x = 0) ∨ (a ≥ 8 ∧ x = √(2a) + a/2).

2) x ≥ a ≥ 0 ∧ x = 4 + a/2 ⇒ 4 + a/2 ≥ a ≥ 0 ∧ x = 4 + a/2 ⇔ 4 ≥ a/2 ≥ 0 ∧ x = 4 + a/2 ⇔ 0 ≤ a ≤ 8 ∧ x = 4 + a/2.

Dette samles:

For a = 0: x = √(2·0) + 0/2 = 0 ∨ x = 4 + 0/2 = 4.

For 0 < a ≤ 8: x = 4 + a/2.

For a > 8: x = √(2a) + a/2.