Cirklens ligning, og linjer der ikke skærer.

I den anden metode anvendes,
at cirkelpunktet med den korteste afstand til passanten med normalvektor 
er bestemt ved:
                                 

Så metode 1:


anden metode som du nævner Mathon den forstår jeg ikke helt? 
Kan du ikke skære den lidt mere ud for mig :D 

Det vil sige vi tager normalvektoren fra linjens ligning, og opstiller en parameter fremstilling med vektor OC +- t*normalvektor?

men hvad gør du i andet skridt hvor du sætter r over normalvekoren?

Den korteste afstand er den vinkelrette. Du kan bestemme ligningen eller parameterfremstillingen for den linje, der går gennem centrum C og står vinkelret på den oprindelige linje.
Så kan du bestemmes skæringspunktet S mellem de linjer og derefter bestemme afstanden fra centrum til linjen som afstanden |CS|  mellem C og S.

AMelev kan du ikke skrive det op matematisk? 
Jeg forstår ikke hvordan jeg bestemmer ligningen for det punkt der går gennem centrum for cirklen og vinkelret på den oprindelige linje. 

Når et multiplum t af normalvektoren lægges til centrum fås en vektor med koordinaterne
   (c_x + a·t, c_y + b·t)

Hvor t skal vælges så punktet ligger på linjen. Derfor indsættes koordinaterne i linjeligningen:
   a·(c_x + a·t) + b·(c_y + b·t) + c = 0

t isoleres:
   t = (-a·c_x - b·c_y - c) / (a² + b²)

Dvs. metoden er at beregne t med ovenstående formel, og da indsætte den funde t-værdi i 
   (c_x + a·t, c_y + b·t)
der dermed er det punkt på linjen som ligger tættest på centrum. Til sidst benyttes pythagoras til at finde afstanden mellem punktet på linjen og centrum, og radius trækkes fra da det var afstanden til cirklen der skulle bestemmes. Hvis resultatet er negativt betyder det at afstanden er 0 og at der er to skæringer mellem linjen og cirklen.

#5

Jeg forstår ikke hvordan jeg bestemmer ligningen for det punkt der går gennem centrum for cirklen og vinkelret på den oprindelige linje. 

Du kan ikke bestemme ligning for et punkt. Du skal bestemme ligning eller parameterfremstilling for den  vinkelrette linje gennem C, og det tror jeg, du er stødt på en hel del gange før - det er et yndet spørgsmål til skr. eksamen.

Jeg er for doven til at skrive vektorerne rigtigt :)

Hvis du fx har cirklen med centrum C(-4,2) og linjen l: y = 2x - 4, så har l retningsvektor r = (1,2) (1 th ~ 2 op) og dermed normalvektor n = (-2,1)
Altså har linjen m gennem C og vinkelret på l normalvektor r og retningsvektor n.
Så opskriver du ligning eller parameterfremstilling (lettest at regne videre med parameterfremstilling) for m og finder skæringspunktet S mellem l og m.
Prøv lige selv, og spørg igen, hvis du får problemer. Jeg fik i eksemplet |CS| = 4.02.

Tak for hjælpen alle.

AMele
Ud fra hvad du skriver så kan jeg opstille linjens paramter som

er det ikke korrekt?
men forstår ikke helt hvordan jeg finder frem til den værdi af t der giver mig skærings punktet S med linjen l.

Sætter jeg linjens paramter fremstilling = linje l for at isolere t? er lidt tabt her :) 

Tror jeg forstår det nu. Skal lige have kigget lidt mere på det :) 
Men er min parameter fremstilling korrekt? for når jeg prøver at bruge solve funktionen siger den false.

Jeg skriver sådan, og har defineret linje l som den er skrevet.

solve(l=0 and x=t-4 and y=2t+2,x,y,t)
den giver mig svaret false? skal linjen l ikke være = 0 ? 

#8 Nej, retningsvektoren r_m for m er normalvektoren n for l, da l og m står vinkelret på hinanden.

#9 Du sætter parameterudtrykkene for x  og y ind i ligningen for l og løser den mht. t. Når du har t, sætter du det ind i parameterfremstillingen for at bestemme S(x,y).
l: y = 2x - 4 ⇒ 2 + t = 2(-4 - 2t) - 4 ......
PS! Det var ikke rigtigt, at |CS| = 4.02, det skal være 6.26. Jeg havde fået sat forkert centrum ind på figuren, som jeg målte på. Jeg vedhæfter den rigtige figur.

NB! Når du så har afstanden fra C til l, skal du (ved begge metoder) trække radius fra for at få afstanden (den korteste) fra cirklen til linjen.

Bruger du TI-Nspire eller ...?

Hvis du har defineret l som ligningen y = 2x - 4, skal den jo ikke være 0, så skal den jo bare gælde.

Din parameterfremstilling er jo ikke rigtig, men det er ikke grunden til den manglende løsning.

 

Ja jeg brugte TI nspire, men den metode du skrev er også den jeg kom frem til! 
Så jeg takker mange gange for hjælpen, og skal lige have læst lidt op på parameter fremstilling kan jeg høre.

men så kan jeg bruge den som 1 metode.

og anden metode kan jeg bare forklare formlen dist(P,l) som jeg oppe i post #2, ikke? det er vel to måder at finde afstanden fra cirkel til linje? 

Jo, men husk lige, at ved begge metoder får du afstand fra centrum til linje

Du kan fint definere linjer og cirkler i Nspire. Når du løser flere ligninger, behøver du kun at skrive den ene ubekendte ved solve - de andre følger med.

Perfekt tak, det giver meningn nu :)
Men til eksamen kan jeg vel redegøre for de to metoder, og så slutte af med at sige at radius af cirklen selvfølgelig skal trækkes fra i afstanden fra cirkel til linje :) 

Ja. God fornøjelse.

Perfekt, mange tak! :)