Matematik

3-trinsreglen på x^n

13. juni 2019 af Søren2000 - Niveau: B-niveau

Jeg har en del af et eksamensspørgsmål der lyder sådan:

"Gør rede for differentiation via 3-trinsreglen af x^n for heltalligt positivt n."

Jeg ved godt hvad 3-trinsreglen er, og hvordan den bruges, men jeg kan simpelthen ikke få det til at gå op, og altså få resultatet f´(x)=n*x^n-1. Problemet opstår når jeg lader h gå mod 0.

Jeg er nået frem til: deltay/h = h^n-1 + n*x

Jeg ved ikke om overstående er rigtigt, og hvis det er, hvad sker der så når h --> 0??

Håber at der er en der kan hjælpe :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. juni 2019 af oppenede

Faktoriser tælleren, så h kommer til at gå ud og indsæt da h=0.
$\\\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}= \\\lim_{h\to 0}\frac{((x+h)-x)((x+h)^{n-1}+x(x+h)^{n-2}+\ldots+x^{n-2}(x+h)+x^{n-1})}{h}= \\\lim_{h\to 0}\frac{h((x+h)^{n-1}+x(x+h)^{n-2}+\ldots+x^{n-2}(x+h)+x^{n-1})}{h}= \\\lim_{h\to 0}((x+h)^{n-1}+x(x+h)^{n-2}+\ldots+x^{n-2}(x+h)+x^{n-1})= \\\text{ }\quad(x^{n-1}+xx^{n-2}+\ldots+x^{n-2}x+x^{n-1})=nx^{n-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. juni 2019 af PeterValberg

Se denne < VIDEO >

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. juni 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{1. trin}&(x_o+h)^n-{x_o}^n=\binom{n}{0}{x_o}^n+\binom{n}{1}(x_o)^{n-1}h+\binom{n}{2}{x_o}^{n-2}h^2+...+\binom{n}{n-1}{x_o}h^{n-1}+\binom{n}{n}h^n-{x_o}^n=\\\\ &\left (\binom{n}{1}{x_o}^{n-1}+\binom{n}{2}{x_o}^{n-2}h+...+\binom{n}{n-1}x_o\cdot h^{n-2}+\binom{n}{n}h^{n-1} \right ) h\\\\ \textup{2. trin}&\frac{(x_o+h)^n-{x_o}^n}{h}=\binom{n}{1}{x_o}^{n-1}+\binom{n}{2}{x_o}^{n-2}h+...+\binom{n}{n-1}x_o\cdot h^{n-2}+\binom{n}{n}h^{n-1}\\\\\textup{3. trin} \\&\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \left (x^n \right ){}'=\underset{h\rightarrow 0}{\lim} \frac{(x_o+h)^n-{x_o}^n}{h}=\binom{n}{1}{x_o}^{n-1}+\binom{n}{2}{x_o}^{n-2}\cdot 0+...+\binom{n}{n-1}x_o\cdot 0^{n-2}+\binom{n}{n}\cdot 0^{n-1}=n\cdot {x_o}^{n-1} \end{array}$

Svar #4
13. juni 2019 af Søren2000

Jeg er lidt i tvivl om, hvad der sker ved svar #1. Kan du måske forklare med nogle sætninger, hvad du gør?

Videoen er rigtig god, men der bruger de jo ikke 3-trinsreglen, som der står at jeg skal gøre i eksamensspørgsmålet.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. juni 2019 af guuoo2

Første linje er definitionen af differentialkvotienten.
I 2. linje benyttes (med a = x+h og b = x)
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}b^0+a^{n-2}b^1+\ldots +a^1b^{n-2}+a^0b^{n-1})$
som gælder fordi når den lange parentes ganges ind i (a - b), og dernæst a og b ganges ind i hver sin parentes, så får man addender der i par går ud med hinanden, bortset fra 2 addender:
${\color{White} 0}\\[-0.2cm](a-b)(a^{n-1}b^0+a^{n-2}b^1+\ldots +a^1b^{n-2}+a^0b^{n-1})= \\[0.2cm]\text{ }\hspace{1.8cm} a(a^{n-1}b^0+a^{n-2}b^1+\ldots +a^1b^{n-2}+a^0b^{n-1})- \\[0.1cm]\text{ }\hspace{2cm} b(a^{n-1}b^0+a^{n-2}b^1+\ldots +a^1b^{n-2}+a^0b^{n-1})= \\[0.2cm]\text{ }\hspace{1.8cm} a^nb^0{\color{Red}\ +\ a^{n-1}b^1}{\color{Magenta}\ +\ldots +a^2b^{n-2}}{\color{Blue}\ +\ a^1b^{n-1}} \\[0.1cm]\text{ }\hspace{2cm} {\color{Red} -\ a^{n-1}b^1}{\color{Magenta}\ -\ a^{n-2}b^2-\ldots\ }{\color{Blue} -\ a^1b^{n-1}}-a^0b^{n}=a^nb^0-a^0b^n=a^n-b^n$

I 3. linje ændres kun ((x+h)-x) til h

I 4. linje annuleres h-faktorerne i tæller og nævner som går ud med hinanden

I 5. linje indsætte h=0, og så har man
$\\x^{n-1}+xx^{n-2}+\ldots+x^{n-2}x+x^{n-1}= \\\underset{n\text{ addender}}{\underbrace{x^{n-1}+x^{n-1}+\ldots+x^{n-1}+x^{n-1}}}=nx^{n-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. juni 2019 af Meppo

#2 pvm:

Den video, som du linker til, kan IKKE bruges i denne sammenhæng.

Spørgsmålet gik jo på at vise det vha. trtrinsreglen og videoen omhandler ikke tretrinsreglen.

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. juni 2019 af mathon

så brug #3

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. juni 2019 af Meppo

Ja, lige præcis ;)

Skriv et svar til: 3-trinsreglen på x^n

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.