Matematik

cirklens ligning

06. maj 2024 af Astrid2911 - Niveau: B-niveau

Hej jeg er lidt i tvivl om hvordan man løser denne opgave:

tak på forhånd

Vedhæftet fil: cirkelens ligning.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. maj 2024 af Amatøren

Hej,

Vi kigger på de led, der indeholder henholdsvis x og y hver for sig. Heraf skal vi omskrive ligningen ved brug af kvadratsætningerne. Sidst skriver vi konstanterne på højresiden og lægger sammen.

Giver det mening indtil videre? :)

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. maj 2024 af Amatøren

Metode (se bilag).

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2024-05-06 193441.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. maj 2024 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. maj 2024 af ringstedLC

Paranteserne kvadreres:

$\begin{align*} \bigl(x-a\bigr)^2+\bigl(y-b\bigr)^2 &= r^2 \\ x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 &=r^2 \end{align*}$

Bemærk: Ligningens højre side er "0". Selvom en cirkels radius kan være nul, så er det nok ikke tilfældet.

Cirklens ligning har "kun" 5 led på venstre side. Det manglende led (kvadratet på 2. led i første parentes) skal du bestemme og addere på begge sider af lighedstegnet. Derved fås så en radius større end nul:

$\begin{align*} x^2-4x+y^2-8y+16 &= 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2ax=-4x \Rightarrow a=... \;,\;x\neq 0 \\ -2by=-8y \Rightarrow b=4 \;,\;y\neq 0 \end{matrix}\right. \\ x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 &= r^2 \\ x^2-4x\;{\color{Red} +\,a^2}\,+y^2-8y+4^2 &= 0\;{\color{Red} +\,a^2} \\ \Rightarrow \bigl(x-a\bigr)^2+\bigl(y-4\big)^2 &= a^2 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. maj 2024 af Amatøren

Bemærk: Ligningens højre side er "0". Selvom en cirkels radius kan være nul, så er det nok ikke tilfældet.

Hvis radius er nul er det vel ikke en cirkel, men et punkt?

Brugbart svar (1)

Svar #6
06. maj 2024 af ringstedLC

Et punkt kan vel godt beskrives som en cirkel med uendelig lille radius. GeoGebra giver fx et element i kategorien "Keglesnit", - og ikke i "Punkt", for ligningen x² + y² = 0

Brugbart svar (1)

Svar #7
07. maj 2024 af SuneChr

Radius kan være negativ, nul eller positiv.
Hvis vi integrerer periferien i første og anden kvadrant af enhedscirklen,
er den nedre grænse r = - 1 og den øvre grænse r = 1. Derimellem er r = 0.

Arealet af hele enhedscirklen kan findes ved $\int_{\Theta =0}^{2\pi }\int_{r=0}^{1}r\textup{d}r\textup{d}\Theta$ hvor r = 0 også er meningsfuld.

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. maj 2024 af Amatøren

#6, #7

Mange tak, for svarene

Svar #9
08. maj 2024 af Astrid2911

allesammen, Mange tak for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. maj 2024 af ringstedLC

#7: En negativ radius strider med min opfattelse af længde og afstand.

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. maj 2024 af SuneChr

En radiusvektor r kan have sin modsatte vektor - r
|r| = |- r|

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. maj 2024 af ringstedLC

#11 Se venligst https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2090267

Skriv et svar til: cirklens ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.