Differentialregning

#0 Hint: Hvordan bestemmer du f ' (x)?

De fleste får en indtroduktion til differentialregning ved at ens lærer tegner en funktion (fx et andengradspolynomium) på tavlen og vælger et fast fodpunkt på x-aksen, kald dette for . Herefter vælges et nyt punkt på x-aksen, som er relativt langt fra . Hvis man tegner den rette linje som går gennem funktionsværdien til de to punkter, så har man sekanten til de to punkter.

Nu vælges et nyt punkt på x-aksen som er lidt tætter på  og sekanten til tegnes på ny. Denne proces gentagtes indtil man praktisk talt har sat sit "nye punkt" oven i . Hvad skal man så tegne her? Jo man tegner TANGENTEN til funktionen i netop .

Okay, men hvad har det så med f(x) og f'(x) at gøre? Jo, hvis du har set formlen for tangents ligning, som er  . Her kan du se, at vi har at gøre med en ret linje - dvs. lineær funktion, hvor hældningskoefficienten er f'(x). Så en af de tydelige sammenhænge der er mellem f(x) og f'(x) er at f'(x) angiver differentialkoefficienten, som er et udtryk for hældningen for tangenten i ethvert givent punkt. f'(x) angiver med andre ord, hvor meget f(x) ændres ved en ændre i x for ethvert punkt der indsættes i funktionen for f'(x).


Når du så skal beskrive udvalgte dele af funktionsanalyse, så kan du fx komme ind på følgende:
1) Hvordan f'(x) kan bruges til at bestemme monotoniforhold
2) Hvordan f'(x) kan bruges til at bestemme maksima og minima
3) Hvordan f'(x) bruges til at opstille approksimationer

Tak for det, det var forståeligt :)

#4 Det forudsættes dog at f er differentiabel for de x-værdier den er defineret for. Dette er ikke tilfældet for funktionen g(x)=|x| ved x=0.