Matematik

Differentialligning FL>0

15. oktober 2019 af IMBN3 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har denne opgave:

Bestem den fuldstændige løsning til di?erentialligningen
dy dx +1/x*y = 1 for x > 0

Jeg har brugt panserformlen og har f(x)= 1/x, F(x)=lnx, g(x)=1
Men jeg får -x, hvilket jo ikke er større end 0.
Kan nogen hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. oktober 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} y{\, }'+\frac{1}{x}\cdot y=1&x>0\\\\ y=x^{-1}\cdot \int x\cdot 1\, \mathrm{d}x\\\\ y=x^{-1}\cdot \left ( \frac{1}{2}x^2+C \right )\\\\ y=\frac{C}{x}+\frac{1}{2}x \end{array}$

Svar #2
15. oktober 2019 af IMBN3

jeg forstår ikke helt hvad du gør?
stamfunktionen til 1/x er da lnx?

Og hvor blev y af?

Kan du ikke også bruge nogle ord, som forklarer hvad du gør? Eller måske tage nogle mellemregninger med.

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. oktober 2019 af AMelev

Det er x, der skal være positiv. Det forhindrer ikke, at y = -x. Der kræves ikke, at y skal være positiv.
Jeg forstår bare ikke, hvordan du har fået -x. Det kræver oplysning om et punkt på grafen (randbetingelse).

$y=e^{-ln(x)}\cdot( \int e^{ln(x)}\cdot 1\, dx+k)= \frac{1}{e^{ln(x)}}\cdot( \int x\, dx+k)=\frac{1}{x}\cdot(\frac{1}{2}x^2+k)= \frac{1}{2}x+\frac{k}{x}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. oktober 2019 af mathon

Hvis $f(x)=\frac{1}{x}$
er
$F(x)=\ln(x)$
og
$e^{F(x)}=x$

hvoraf
$\small \begin{array}{lllll} y{\, }'\cdot x+\frac{1}{x}\cdot y\cdot x=x\\\\ \left ( y\cdot x \right ){}'=x\\\\ y\cdot x=\int x\mathrm{d}x\\\\ y\cdot x=\frac{1}{2}x^2+C\\\\ y=\frac{C}{x}+\frac{1}{2}x \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. oktober 2019 af swpply (Slettet)

Lad (x₀,y₀) benævne begyndelsesbetingelserne, da har du at

$\begin{align*} y^\prime + \frac{y}{x} = 1 \quad&\Leftrightarrow\quad xy^\prime + y = x \\ &\Leftrightarrow\quad \frac{d}{dx}(xy) = x \\ &\Leftrightarrow\quad \int_{x_0}^x\frac{d}{dt}(ty)\,dt = \int_{x_0}^xt\,dt \\ &\Leftrightarrow\quad x\cdot y(x) - x_0\cdot y_0 = \frac{x^2}{2} - \frac{x_0^2}{2} \\ &\Leftrightarrow\quad y(x) = \frac{x}{2} + \frac{x_0}{x}\bigg(y_0-\frac{x_0}{2}\bigg) \end{align*}$

Svar #6
15. oktober 2019 af IMBN3

#3 Det er også sådan, jeg har gjort. Jeg har bare fået y = -x (int) x * 1 og deraf -x *1 =-x

Svar #7
15. oktober 2019 af IMBN3

Der er åbenbart mange måder at løse den på, og flere forskellige svar. Jeg tror jeg går med #3, da det er den, jeg bedst forstår.

Mange tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Differentialligning FL>0

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.