Komplekse tal

none attachment

Hvor er opgaven?

Hov, jeg må have glemt at vedhæfte. Den kommer her :)

r cos(θ)+ir sin(θ) kan også skrives r(cos(θ)+isin(θ)). Den nummeriske værdi af parentesen er 1. Heraf kan du finde r. Derefter skal du finde θ. Da tallet er et reelt negativt tal, skal sin(θ)=0. Det giver en række kandidater til en løsning. Nogle af dem vil svare til en positiv værdi af cos, mens andre svarer til en negativ værdi af cos.

Når du skal finde den fjerde rod af re^iθ skal du uddrage den fjerde rod af r og dividere θ med 4.

                 

                           

tastekorrektion:

                           

Mathon vil du hjælpe med at forklare hvordan du har gjort?
Jeg har ikke fået sådanne en opgave før. :)
Og har svært ved lige at se hele teknikken i det

Jeg forstår ikke hvordan teta er fundet

#4
r cos(?)+ir sin(?) kan også skrives r(cos(?)+isin(?)). Den nummeriske værdi af parentesen er 1. Heraf kan du finde r. Derefter skal du finde ?. Da tallet er et reelt negativt tal, skal sin(?)=0. Det giver en række kandidater til en løsning. Nogle af dem vil svare til en positiv værdi af cos, mens andre svarer til en negativ værdi af cos.

Når du skal finde den fjerde rod af rei? skal du uddrage den fjerde rod af r og dividere ? med 4.


Kan du hjælpe lidt mere i bunden med opgaven? Jeg ved jeg skal bruge nogle regneregler, men hvordan jeg finder tallene at putte i disse, har jeg ikke prøver før :)

                        

specifikt for n=4
og
                        

Skrevet på en lidt anden måde:

Generelt: |zⁿ| = |z|ⁿ og arg(zⁿ) = n·arg(z)

Da, du har zⁿ = 81, er |zⁿ| = 81 og arg(zⁿ) = 0+2p·π. Dermed ved du, at |z|ⁿ  = 81 og n·arg(z) = p·2π og kan derudfra bestemme r = |z| = ..... og Θ = arg(z) = ......

#0. Alternativ 1. Løs: (r·exp(i·x))⁴ = -81 med hensyn til r og x.
(r·exp(i·x))⁴ = -81 + i·0 ⇒
r⁴·exp(4·i·x) = -81 + i·0 ⇒
r⁴·cos(4·x) + i·r⁴·sin(4·x) = -81 + i·0 ⇒
(real del:) r⁴·cos(4·x) = -81 og (imaginær del:) r⁴·sin(4·x) = 0
Ved hjælp af real-delen finder man r og x:
r: solve(r⁴ = 81,r)|r>0 ? r = 3 
x: solve(cos(4·x)=−1,x)|−π < x ≤ π ? x = −3·π/4 or x = −π/4 or x = π/4 or x = 3·π/4
Dvs. z = r·exp(i·x)  =  3·exp(−i·3·π/4),  3·exp(−i·π/4),  3·exp(i·π/4)  eller  3·exp(i·3·π/4) 
Dette kan omskrives til formen a + i·b:
3·exp(−i·3·π/4) = 3·(cos(−3·π/4) + i·sin(−3·π/4)) = -(3·√2)/2 - i·(3·√2)/2
3·exp(−i·π/4) = 3·(cos(−π/4) + i·sin(−π/4)) = (3·√2)/2 - i·(3·√2)/2
3·exp(i·π/4) = 3·(cos(π/4) + i·sin(π/4)) = (3·√2)/2 + i·(3·√2)/2
3·exp(i·3·π/4) = 3·(cos(3·π/4) + i·sin(3·π/4)) = -(3·√2)/2 + i·(3·√2)/2

Alternativ 2. Løs: (a + i·b)⁴ = -81 med hensyn til a og b.
(a + i·b)⁴ = -81 + i·0 ⇒
a⁴ - 6·a²·b² + b⁴ + i·4·a·(a² - b²)·b = -81 + i·0 ⇒ 
(real del:) a⁴ - 6·a²·b² + b⁴ = -81 og (imaginær del:) 4·a·(a²-b²)·b = 0.
Af imaginær-delen ses, at enten er |a| = |b| (a² - b² = 0), a = 0 eller b = 0. Af realdelen ses, at a = 0 eller b = 0 ikke kan lade sig gøre, da det giver a⁴ = -81 eller b⁴ = -81. Tilbage er der |a| = |b|, dvs. a = b eller a = -b. Man får:
a = b: solve(a⁴-6·a²·b² + b⁴ = −81,a)|b=a ? a = −(3·√2)/2 or a = (3·√2)/2
a = -b: solve(a⁴ - 6·a²·b² + b⁴ = −81,a)|b=−a ? a = −(3·√2)/2 or a = (3·√2)/2
Dvs. a + i·b =  −(3·√2)/2 - i·(3·√2)/2,  −(3·√2)/2 + i·(3·√2)/2,  (3·√2)/2 - i·(3·√2)/2  eller  (3·√2)/2 + i·(3·√2)/2.
Dette kan omskrives til formen r·exp(i·x) som ovenfor.

#13 Ups fortegnssmutter

Da, du har zⁿ =-81, er |zⁿ| = 81 og arg(zⁿ) = π+2p·π. 

#14. Løsning i Ti-Nspire:...

Da -81 er et reelt tal, er  sin(θ) = 0. Dette betyder, at θ = qπ. For disse værdier er cos enten 1 eller -1:

cos(2pπ) = 1 og cos((2p+1)π) = -1. Da -81 er negativ, må det være tilfældet (2p-1)π.

Du har så, z⁴ = -81 = 81*(cos((2p+1)π) + i sin((2p+1)π).

De komplekse tal, der opfylder denne ligning, har en moduloværdi, hvis fjerdepotens er 81. 3⁴= 81, så |z|= 3.

Når man opløfter z til fjerde potens, ganges argumentet med 4, så 4*arg(z) = (2p+1)π <=> arg(z) = (2p+1)π/4.

Vi ser nu på forskellige værdier af p, startende med p=0. Så er arg(z) = (2*0+1)π/4 = π/4

Derefter ses på de næste p-værdier:

p      arg(z)

0      (2*0+1)π/4 =   π/4

1      (2*1+1)π/4 = 3π/4

2      (2*2+1)π/4 = 5π/4

3      (2*3+1)π/4 = 7π/4

4      (2*4+1)π/4 = 9π/4 = 2π + π/4

5      (2*5+1)π/4 = 11π/4 = 2π + 3π/4

Læg mærke til, at fra og med p=4 gentager værdierne sig med 2π*n lagt til, hvor n er et helt tal. Da sin og cos er periodiske med perioden 2π, betyder det, at z-værdierne gentager sig, så der er faktisk kun tale om 4 z-værdier.

#7

tastekorrektion:

                           

Mathon, jeg er også nået frem til dette nu. Hvordan kan man skitsere det? :)

For  p= 0  ligger den første rod her i den komplekse plans "1. kvadrant".
Kør rundt i pos. omløbsretning (mod uret) og få de sidste tre rødder placeret: