Matematik

Kvantorer udsagn

03. december kl. 12:57 af Duvedhv19 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

jeg har lidt problemer med at løse denne opgave, håber i kan vise hvordan man skal gøre dette? 

På forhånd tak


Brugbart svar (0)

Svar #1
03. december kl. 14:11 af JohnDoe1990

Jeg ved ikke om der er en 'metode' som sådan, hvis det er dét du spørger om. Men lad os eks. kigge på b)

\exists n \in \mathbb{Z}: \forall m \in \mathbb{Z}: m>n

Jeg ville først tænke over hvad udsagnet betyder. Lad os derfor antage det er sandt for en stund: Det betyder at der findes et helt tal n sådan at følgende er sandt:

\forall m \in \mathbb{Z}: m>n

Dvs. vi kan vælge et vilkårligt helt tal m sådan at følgende er sandt:

m>n

Det er hvad udsagnet betyder - og det er ikke sandt! Fordi der simpelthen ikke findes et helt tal som er mindre end ALLE hele tal.

En anden måde at se det på er bare at 'oversætte' det til hverdagssprog:

"Der findes et helt tal n sådan at der for alle hele tal m gælder at m > n"

Eller sagt på en lettere måde:

"Der findes et helt tal som er mindre end alle hele tal"

---

Nu kan du måske prøve at tænke over a) eller c) på en tilsvarende måde... :-)


Svar #2
03. december kl. 14:33 af Duvedhv19

både a og c er rigtige

kan komme med et eksemple på C) "For every integer n, there exists an integer m such that m>n."

for alle hele tal n eksistere der et helt tal m hvor m>n

Dette er rigtigt. 

Men når jeg kigger på eksempel E bliver jeg meget i tvivl:

Vil den hedde:

for alle heltal a, eksistere der et heltal b, for alle heltal c, hvor  a*b \leq c^2

Men dette udsang vil så være forkert?


Brugbart svar (0)

Svar #3
03. december kl. 15:04 af JohnDoe1990

Du har ret mht. a) og c)

Ja. Ville nok sige:

For alle heltal a, eksisterer der et heltal b, sådan at der for alle heltal c gælder at:

a \cdot b \leq c^2

Det virker til du er med så langt. :-)

---

Men udsagnet er sandt. Her er et bevis:

Lad a være et vilkårligt heltal. Hvis a er negativ eller 0, så vælg b = 1, hvis a er positiv så vælg b = -1.

Da vil der altid gælde at

a \cdot b \leq 0

og eftersom der også altid gælder at

\forall c \in \mathbb{Z}: c^2 \geq 0

har vi at

a \cdot b \leq c^2

hvilket viser at udsagnet er sandt.

---

Man skal lige vænne sig til kvantorer... Jeg synes det var rigtig svært da jeg lærte om det i sin tid.


Svar #4
03. december kl. 15:35 af Duvedhv19

Hvis jeg så ser på F)

Her vil det så betyder at den først og fremmest hedder: "for every integer a, for every integer b, there's an integer n such that a*b < c^2"

For alle heltal a, for alle heltal b, sådan at der eksistere et heltal c gælder at   a*b \leq c^2

Dette udsagn kan konkluderes at være forkert, hvis jeg tager udgangspunkt i det du fortalt.

Og hvis jeg hermed ser på G og H, så har jeg fået det til at G er rigtig og H er forkert.


Brugbart svar (0)

Svar #5
03. december kl. 16:40 af JohnDoe1990

Det er netop det som det betyder - men udsagnet er faktisk også sandt. Her er et bevis:

Lad a være et vilkårligt heltal, og lad b være et vilkårligt heltal. Bemærk at da vil a*b også være et heltal. Vi skal vise der findes et heltal c sådan at

a \cdot b \leq c^2

Hvis vi vælger c = a*b, så er ovenstående ulighed opfyldt, hvilket viser at udsagnet er sandt.

---

Ja, G og H ser ud til at være forkerte.


Svar #6
03. december kl. 16:43 af Duvedhv19

Mange tak for hjælpen, det har givet en meget bedre forståelse for kvantorer.


Skriv et svar til: Kvantorer udsagn

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.