Matematik

Sinus og cosinus funktionerne

04. marts 2020 af Apollonia57 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Jeg kan ikke helt forstå denne defination og notationen, hvorfor har de skrevet det på den måde:

Funktionerne cosinus og sinus er periodiske med perioden $2\pi$ , dvs. for ethvert $t?R$ ∈R, gælder det at:

$sin (t+2\pi )= sin t$

$cos (t+2\pi )= cost$

- Skal der egentlig være et mellemrum mellem cos og t?

Hvorfor har man lagt 2 pi til på den måde?

Når der står, at funktionerne er periodiske er det fordi, når de først drejer i den ene retning, så vil de komme tilbage til start igen?

Kan t egenlig skife retning, når den 'kører rundt'?

Når der står, at t tilhører mængden af reele tal, er det så 'graderne/radiantallet'?

Og når man skriver, at et tal tilhører en mængde, har man taget forbehold for det højeste reele tal (giver det mening?), altså hvis 'graderne/radiantallet' tilhører mængden af reele tal er det højeste ikke 360 grader og 2 pi radianer?!

Det lyder virkelig dumt, det her jeg skriver, men det et nyt emne så jeg er ret forvirret, og jeg ikke engang om, jeg ikke stiller de rigtige spørgsmål. Jeg tror bare jeg gøre jer mere forvirret... jeg ved ellers ikke, hvordan jeg skal forklare det, men jeg håber, at I stadig vil kunne hjælpe lidt. Tak på forhånd.

*OBS, jeg kunne ikke finde symbolet for reele tal, så jeg har brugt "R".

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. marts 2020 af peter lind

Der skal ikke være mellemrum mellem cos og t. Derimod skal der være ( . det er bare som almindelige funktioner hvor man skriver f(x)

Det har man gjort fordi funktionen er periodisk med 2π. Man kunne sådan set også trække det fra; men + virker mere naturlig

t skifter ikke retning. Det er bare en reel variabel, der kan antag allemulige værdie

Det er både som grader og radianer, det kan antage alle mulige værdier. Man skal dog være opmærksom på at man normalt ikke taler om vinkler med vilkårlig stor gradtal

Der er ikke noget højeste reel tal.

Der er ingen grænser for hvad t kan være.

Jeg tror du gør dig unødvendig bekymringer. Det skal nok komme når du har løst nogle opgaver med de trigonometriske funktioner

Brugbart svar (1)

Svar #2
04. marts 2020 af ringstedLC

- Det skrives:

$\begin{align*} \sin(t+2\pi) &= \sin(t) \\ \cos(t+2\pi) &= \cos(t) \end{align*}$

da sinus og cosinus er funktioner af variablen t.

- For at vise, hvad det betyder, at en funktion er periodisk. Eks.:

$\begin{align*} \cos(\pi+2\pi) &= \cos(\pi) \\ \cos(3\pi) &= \cos(\pi) \\ \cos^{-1}(3\pi) &= \cos^{-1}(\pi) \\ -1 &= -1 \end{align*}$

- Funktionerne "drejer" ikke. Men sin(t) og cos(t) er koordinaterne til punkterne på enhedscirklens periferi. t er længden af periferien fra (1,0) til et punkt, målt i den positive omløbsretning (mod uret). Da omkredsen af enhedscirklen er 2π er du derfor tilbage ved (1,0), når t = 2π, t = 4π, ..., men også når t = -2π, t = -4π. Og derfor kan både en buelængde (radian) og en vinkel (grader) være større end henholdsvis 2π og 360º.

- Når den variable er uden enhed, er det i radianer.

- $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ = \mathbb{R}, (ligger oppe i en af symbolmenuerne).

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. marts 2020 af Pyrros

- Skal der egentlig være mellemrum mellem cos og t?

Ja, det ser ikke så pænt ud. Man vil normalt enten skrive $\cos{(t)}$ eller $\cos{t}$ . $cost$ givet som sådan ikke nogen mening.

- Det er en måde at angive at de trigonometriske funktioner $\cos$ og $\sin$ . Man vil dog normalt skrive det mere formelt, for eksempel:

$\forall n\in\mathbb{Z},t\in\mathbb{R}\cos{(t+n\cdot2\pi)}$

Periodisk betyder altså bare at en funktions værdier og bane er forskudt. For de trigonometriske funktioner er denne forskydning $2\pi$ .

Brugbart svar (1)

Svar #4
05. marts 2020 af Eksperimentalfysikeren

Der skal være mellemrum mellem cos og t. Hvis der kun er et enkelt bogstav eller tal, f.eks. t, behøver man ikke at sætte parentes om. Det gør man dog ofte, bl.a. fordi programmer, hvor de trigonometriske funktioner bruges, ikke kan finde ud af det, hvis ikke man skriver parenteserne. I gamle dage skrev man kun parenteserne, hvis der var tale om et udtryk, f.eks. (t+n*2π).

t kan vokse vilkårligt. Det benytter man sig af i fysikken, hvor t kan være drejningsvinklen for et hjul. Det kan jo køre mange gange rundt. Hvis et hjul har en radius på 0,5m og det drejer 10 omdrejninger, så drejer det 20π radianer og triller så 20π * 0,5 m = 10π m. Hvis hjulet har et mærke ved kanten, vil dette mærke bevæge sig op og ned. Det vil have højden 0,5m + 0,5m * sin t over jorden. Efter 1 omdrejning, vil det have samme højde over jorden. Ved 1 omdrejnig forøges t med 2π, så punktet har højden 0,5m + 0,5m * sin (t+2π).

Svar #5
06. marts 2020 af Apollonia57 (Slettet)

Tak for alle svarene, det hjalp utrolig meget! :D

Skriv et svar til: Sinus og cosinus funktionerne

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.