Matematik

Funktioner af to variable

13. marts 2020 af MARIOO123 - Niveau: A-niveau

Hej,

Er der nogen der kan hjælpe med vedhæftet opgave

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-03-13 kl. 09.50.13.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. marts 2020 af Festino

1. Hvis vi antager, at punktet $P$ ligger over linjestykket $AB$ , så er arealet af firkant $OAPB$ lig med arealet af trekant $OAB$ plus arealet af trekant $APB$ . Den første trekant har arealet 25, mens arealet af den anden er lig med det halve af den numeriske værdi af determinanten af vektorerne

$\vec{PA}=\left(\begin{array}{c}10-x\\-y\end{array}\right)$

$\vec{PB}=\left(\begin{array}{c}-x\\5-y\end{array}\right)$

(fordi den numeriske værdi af determinanten er lig med arealet af parallellogramet udspændt af de to vektorer). Da determinanten er

$\det(\vec{PA},\vec{PB})=\left| \begin{array}{cc} 10-x & -x \\ -y & 5-y \end{array} \right|=(10-x)(5-y)-xy=50-5x-10y$

og $x\ge 0$ og $y\ge 0$ , er arealet af trekant $APB$ lig med $2.5x+5y-25$ . Heraf følger, at $f(x,y)=2.5x+5y$ .

Svar #2
13. marts 2020 af MARIOO123

Hvilken numerisk værdi snakker du om? og mangler der ikke en mellemregning fra " 2.5x + 5y - 25, og heraf følger det at f(x,y) = 2.5x + 5y"?

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. marts 2020 af Festino

Determinanten har værdien $50-5x-10y$ , og den halve determinant har værdien $25-2.5x-5y$ . Dette tal er positivt, hvis $P$ ligger over den rette linje gennem $A$ og $B$ . Det er nul hvis $P$ ligger på linjen, og negativt hvis $P$ ligger under linjen. Linjen gennem $A$ og $B$ har ligningen

$2.5x+5y-25=0$ ,

hvilket ses ved at indsætte punkterne (10,0) og (0,5) i ligningen.

Hvis $P$ ligger over linjen, så er arealet af firkanten lig med arealet af trekant $OAB$ plus arealet af trekant $APB$ , dvs.

$f(x,y)=25+2.5x+5y-25=2.5x+5y$ .

Hvis $P$ ligger under linjen, så er arealet af firkanten lig med arealet af trekant $OAB$ minus arealet af trekant $APB$ , og i dette tilfælde har den sidste trekant arealet $25-2.5x-5y$ , hvoraf følger, at

$f(x,y)=25-(25-2.5x-5y)=2.5x+5y$ .

Brugbart svar (1)

Svar #4
13. marts 2020 af Festino

2. Gradienten er

$\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2.5\\5\end{array}\right)$ .

Gradienten peger i den retning, hvor funktionen vokser mest. For to punkter $P_1=(x_1,y_1)$ og $P_2=(x_2,y_2)$ gælder der $f(P_2)-f(P_1)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{P_1P_2}$ , idet

$\nabla f(x,y)\cdot\vec{P_1P_2}=\left(\begin{array}{c}2.5\\5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{array}\right)=2.5x_2+5y_2-(2.5x_1+y_1)$ .

Grafen for funktionen $f$ er et skråplan (altså en plan i rummet), og gradienten fortæller hvilken vej i x-y-planen, man skal gå, hvis man vil op. Niveaukurverne for $f$ er rette linjer, der er parallelle med linjen gennem $A$ og $B$ . For eksempel har funktionen værdien 25 på linjen gennem $A$ og $B$ , dvs. at linjen har ligningen $f(x,y)=25$ , hvilket også kan skrives

$2.5x+5y-25=0$ .

Gradientens koordinater angiver de retningsafledede i henholdsvis x-aksens og y-aksens retning. Hver gang vi går 1 meter i x-aksens retning, så skal vi 2.5 meter op, og hver gang vi går 1 meter i y-aksens retning, så skal vi 5 meter op.

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. marts 2020 af Festino

3. Længden af gradienten er

$\left|\nabla f(x,y)\right|=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2+5^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{100}{4}}=\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5\sqrt{5}}{2}\approx5.59$ .

Dette tal fortæller, hvor meget funktionen vokser pr. enhed, som vi går i gradientens retning (hvor stejlt er skråplanet). Hver gang vi går 1 meter i gradientens retning, så skal vi 5.59 meter op.

4. Linjens ligning er $2.5x+5y-25=0$ . Normalvektoren for denne linje er

$\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2.5\\5\end{array}\right)$ .

Skriv et svar til: Funktioner af to variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.