Matematik

Kvaternioner og rotationsmatricer

24. marts kl. 08:26 af jamenhalløjsa - Niveau: A-niveau

Hejsa,

Når en kvaternion på formen z=a+bi+cj+dk skal beskrive en rotation bruger man oftest kvaternionens rotationsmatrice, men hvordan kommer man frem til denne?

Jeg ved, at kvaternioner kan opskrives på formen (a,v), hvor v angiver kvaternionens vektorielle del, hvoraf man så kan opstille en rotationsmatrice, men jeg kan ikke rigtigt finde ud af, hvordan man kommer frem til den.

Med fokus på kvaternioner med modulus 1, har jeg fundet ud af at en kvaternion kan opskrives ved

\bigl(\begin{smallmatrix} 1-2c^2 -2d^2 & 2bc-2ad & 2bd+2ac\\ 2bc+2ad & 1-2b^2 -2d^2 & 2cd-2ab\\ 2bd-2ac & 2cd+2ab & 1-2b^2 -2c^2\end{smallmatrix}\bigr)

meeen jeg ved heller ikke lgie her, hvordan det er man kommer frem til kvaternionen på den her måde..

Håber der er nogen der kan hjælpe mig:))


Brugbart svar (0)

Svar #1
24. marts kl. 10:15 af Eksperimentalfysikeren

Jeg vil foreslå, at du ser på siden:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion.

Der er links videre der fra.


Svar #2
24. marts kl. 10:22 af jamenhalløjsa

#1

Jeg vil foreslå, at du ser på siden:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion.

Der er links videre der fra.

Jeg har været det meste af wikipedia igennem, men synes desværre ikke jeg kan finde nogen specifik forklaring på hvordan kvaternionerne kan opskrives ved rotationsmatricen og på den form jeg ellers har skrevet.


Brugbart svar (0)

Svar #3
24. marts kl. 11:23 af Eksperimentalfysikeren

Desværre er det længe siden, jeg forsøgte at sætte mig ind i det, for at bruge det til computergrafik. Det fik en brat ende, da mit grafikkort stod af og jeg ikke kunne skaffe et nyt. Det er ikke lykkedes mig at finde den litteratur, jeg brugte.

Jeg har søgt lidt på nettet. Det har ikke givet andet, en at den matrix, du har skrevet op, ser ud til at være korrekt.

Jeg håber, der er andre, der kan komme med et godt bud.


Brugbart svar (0)

Svar #4
24. marts kl. 19:21 af chyvak

Jeg vil anbefale dig ikke at bruge dit krudt på at vise denne sammenhæng. Det er en langtrukken øvelse i ret enkle algebrasike manipulationer. Du vil formodentlig intet lære af det. Princippet er, at rotationen af en vektor v gennem quaternionen q er v' = qvq^-1. Opskriv alt som quaternioner, d.v.s. v = (0, v), v` = (0, v´) og q = (a, b, c, d). Så har man også et udtryk for q^-1 (skift fortegn på vektordelen) og kan opskrive højresiden qvq^-1. Dernæst udregner man "blot" quaternionprodukterne og trækker sammen. Det er ikke spændende. Jeg har arbejdet med quaternioner i forbindelse med inertinavigationssystemer og også 6DOF bevægelsessimuleringer og aldrig anvendt dette udtryk. Jeg skal ikke kunne sige om der er andre fagdiscipliner, der gør. Men hvis jeg var dig ville jeg ikke stirre mig blind på den formel. 


Brugbart svar (0)

Svar #5
24. marts kl. 21:44 af Eksperimentalfysikeren

Kvaternioner benyttes meget i computeranimation. De kræver ikke så meget computerkraft som matrixbaserede beregninger. Jeg har arbejdet med computergrafik i en tid, hvor en inkjetprinter havde papiret monteret på en tromle. Senere forsøgte jeg at sætte mig ind i, hvordan man benyttede en grafikprocessor. Derved stiftede jeg bekendtskab med kvaternionerne, men nåede ikke ret langt før mit grafikkort stod af. Det var ikke muligt at få et nyt af samme slags, og de kort man kunne få trak mere strøm end motherboardet kunne klare. Dermed opgav jeg det projekt og fandt på noget andet, bl.a. 4D-grafik.


Svar #6
26. marts kl. 14:42 af jamenhalløjsa

Tusinde tak for jeres svar. Selvom det var en langtrukken øvelse nåede jeg frem til at vide v'=qvq^-1 og endte også med at kunne omformulere det til en rotationsmatrice.

Ift. v'=qvq^-1 an jeg klart anbefale at se videoen:

https://www.youtube.com/watch?v=UaK2q22mMEg&t=749s

https://www.youtube.com/watch?v=q-ESzg03mQc

Hvis der nu er nogen på et andet tidspunkt ud i fremtiden også er i de samme problemer som mig:)


Brugbart svar (0)

Svar #7
26. marts kl. 14:50 af Eksperimentalfysikeren

Tak for tippet.

PS: Ental: matrix, flertal matricer.


Svar #8
26. marts kl. 16:38 af jamenhalløjsa

- og tak! Var faktisk lige i stor forvirring om hvorfor det blev stavet på to måder haha, så super, at jeg lige fik det på plads ved at kigge herind igen


Skriv et svar til: Kvaternioner og rotationsmatricer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.