Differentialregning HASTER

Da man kan spalte (x - rod) ud, så P_n(x) = (x - rod)·Q_n-1(x), kan P_n(x) højst have n rødder.

Da P_n'(x) har grad n-1, kan den iflg. ovenstående højst have n-1 nulpunkter, og dermed kan P_n højst n-1 ekstremumspunkter.

#1

Da man kan spalte (x - rod) ud, så P_n(x) = (x - rod)·Q_n-1(x), kan P_n(x) højst have n rødder.

Såfremt at vi er bgrænset til at arbejde inden for de reelle tals legeme er vi ikke altid sikret at kunne "spalte (x - rod) ud". Andengradspolynomiet p(x) = x² + 1 er et glimrende simpelt modeksempel.

Hvis vi derimod udvider vores tal begreb til at inkludere de komplekse tals legeme er dette selfølgelig altid tilfældet jf. algebreaens fundemental sæting.

Eller hvis fortsat er i de reelle tals legeme og ydeligere begrænser os til kun at tale om polynomier af ulige grad, så er det selvfølgelig sandt at vi altid er sikret at kunne skrive P_2n-1(x) = (x - rod) Q_2n(x) for alle naturlige tal n.

Det er selvfølgelig heler ikke tilfældet for polynomier af grad nul. Men det er vist en mindre pedantiske trivialitet at nævne dette ;-) 

Jeg forstår ikke rigtig din indvending. Jeg går ud fra, vi er begrænset til de relle tal, da komplekse tal ikke er kernestof.

#2

Såfremt at vi er bgrænset til at arbejde inden for de reelle tals legeme er vi ikke altid sikret at kunne "spalte (x - rod) ud". Andengradspolynomiet p(x) = x² + 1 er et glimrende simpelt modeksempel.

Det er da ikke et modeksempel, da p(x) ikke har nogen rod. Når jeg skriver, at vi kan spalte (x - rod) ud, er det selvfølgelig forudsat, at roden eksisterer.