inner product space bevis

Indsæt y(x,z) på hvert led i højre side og vis dermed at de er proportionale med x-z

Det er ikke tilstrækkeligt at indsætte. Derved vises faktisk ikke ret meget - kun at hvis y er givet som oplyst og under antagelse at det, der skal vises, er sandt, så fås at p(x-z) = |1-k|p(x-z) + |k|p(x-z), hvor p er normen, k er konstanten. Du må igang med trekantsuligheden og udnytte, at for normer inducerede af et indre produkt gælder lighedstegn når helt særlige forhold er gældende (hvilke?). Du kunne f.eks kigge på || x-y + y-z||. Du skal nå frem til at så skal y have den angivne form og konstanten kan kun ligge i [0,1] (vi betragter åbenbart vektorrum over de reelle tal). Og netop fordi du under udledningen gør brug af forhold der kun er gældende for den inducerede norm, giver det dig et hint til at det nok ikke gælder for normer der ikke er induceret af et indre produkt. Et eksmpel kunne være l1-normen.

Hvis 2 vektore u og v er proportionale gælder der ||u+v||= (u+v)·(u+v) = u²+2u·v +v² = ||u||²±2||u||*||v|| +||v||² = |(||u||±||v||)² hvor - tegnet skal anvendes hvis de er modsat rettet

Det bemærkes at i dette tilfælde er proportionaliteskpnstanten positv.