Matematik

Diffrentialigning

07. oktober 2020 af nulle6876 - Niveau: B-niveau

Hej jeg kan ikke helt finde ud, at løse denne opgave, så jeg håber jeg kan få lidt hjælp på fårhond tak:)

En funktion f er løsning til diffrential ligningen
(*) ((dy)/(dx))=−x+y,
og grafen for f gpr gennem punktet P(2,3)
1. Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i P.

2. Gør rede for, at enhver funktion af typen
g(x)=x+1+ce^(x),
hvor c er et tal, er løsningen til (*)

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. oktober 2020 af Mathias7878

1) Du kan med fordel anvende, at differentialkvotienten angiver tangentens hældning i et givet punkt. Dvs. at

$\small \frac{dy}{dx} = a$

hvor a betegner hældningskoefficienten i den lineære funktion på formen y = ax+b. Da du har givet et punkt P(x,y) = P(2,3), har du dermed alt du skal bruge for at finde en tangent til grafen for f i P, som jo er en lineær funktion på formen y = ax+b.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. oktober 2020 af Mathias7878

2) Differentier g(x) og erstat det med dy/dx. Erstat ligeledes y = g(x). Står der det samme på begge sider, er g(x) en løsning til differentialligningen.

- - -

Svar #3
07. oktober 2020 af nulle6876

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg gør?

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. oktober 2020 af Mathias7878

1) Idet differentialkvotienten angiver tangentens hældning i et givet punkt P(x,y) gælder, at

$\small a = \frac{dy}{dx} = -x+y = -2+3 = 1$

Da vi nu kender a og et punkt P(2,3), kan vi blot løse ligningen

$\small 3 = 1 \cdot (-2) +b$

for at bestemme tangenten for f i punktet P(2,3). Dvs.

$\small 3 = 1 \cdot (-2) +b \Leftrightarrow b = 5$

Tangenten for f i punktet P(2,3) er dermed

$\small y = x+5$

2) For at g(x) er en løsning til differentialligningen, skal der gælde, at

$\small g'(x) = -x+g(x)$

Vi udregner, at

$\small \frac{d}{dx} \left(x+1+ce^x \right ) = 1+ce^x$

samt

$\small -x+y = -x + x + 1 + ce^x = 1+ce^x$

Det følger nu, at g(x) er en løsning til differentialligningen dy/dx = -x+y.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. oktober 2020 af mathon

$\small \begin{array}{cc} \textbf{Oversigt}\\ y=g(x)=x+1+Ce^x \end{array}$

$\small \begin{array}{c|c} \mathbf{g{\, }'(x)}&\mathbf{-x+y}\\\hline 1+0+Ce^x&-x+x+1+Ce^x\\ 1+Ce^x&1+Ce^x \end{array}$

Skriv et svar til: Diffrentialigning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.