eksams øvelse

og disse opgaver tak

#0 Der er givet et bud på opgave A i flg. tråd. 

#0 Mht. B

Sæt f*(x,y,z) := exp(2x²y - x - y) - z

Øjensynligt ses f* ∈ C¹. Med a ∈ Dom( f* ), kan du bestemme tangentplanen til f* i a ved formlen                                                                                  0 = h (x) + f* (a) + ∇f* (a) + (x - a).                                                          Du har, at                                                                                                                                                              1) x = (x, y, z),    2) h(x) = z,    3) f(a) = 0,    4)  ∇f* (a) = [ 3, 1, 1 ]^T,     5) (x - a) = [ x-1, y-1, z-1 ]^T.                   Altså må svaret være                                                                                                                                                                                                                     z = 3x + y - 3

#0 Mht. C

Fordi f ∈ C¹, findes f '(a;r), eller ∇f '(a)·r. Bruges den sidstskrevne haves

                                                  ∇f '(x,y)  =  [ cos(x + y²), 2y·cos(x + y²) ]^T så                                                                                                        ∇f '(a)  =  [ 1, 2 ]^T                                                                                                Derfor er den retningsafledede                                                                                                                                                                                ∇f '(a)·r = -3.

Rettelse til #3

Formlen skal være 0 = h (x) + f* (a) + ∇f* (a) • (x - a)

#0 Mht. D

En variant for formlen i #5, der kan bruges til opgave D er,                                                                                                                                                        0 =  ∇f (a) • (x - a). 

Vi har                                                                                                                                                                    1) ∇f (x,y) = [ 4x³ + 2y, 2x + 3y² ]^T      og      2) (x - a) = [ x -1, y - 2 ]^T                                                       

Med er  ∇f (a) = [ 8, 14 ]^T er svaret                                                                                                                                                                                              0 = 4x + 7y - 18.