Fordelingsfunktionen.

Benyt substitutionen

#0 Mon ikke der findes et bevis i din lærebog?

Nej kan desværre intet finde, er meget på bar bund. :/ 

φ(x) er funktionen i din formesamling side 43 formel 260

Du skal  vise at ∫_-∞^∞xφ((x-μ)/σ)dx/σ = μ  og at ∫_-∞^∞x²φ((x-μ)/σ)dx/σ = σ

Brug substitution

#4 Her er jeg uenig med Peter Linds indlæg #5. Parameterne μ ∈ R og σ > 0 er givet på forhånd. Hvad der skal bevises er udsagnet 

                                                                          F(x) = Φ( [ x - μ]/ σ).      (•)

Fordelingsfunktionen for standard normalfordelingen er givet ved Φ(x) = ∫_-∞^x φ(y) dy ( = F(x) ), hvor φ er sandsynlighedstætheden φ(x) = (1/√(2π)) ·(exp(-x²/2)). Vi bruger ideen i #2, hvilket forudsætter introduktionen af to fordelinger X og Y. Hvis X er standard normalfordelt, så er Y = μ + σ·X  også normalfordelt med middelværdi μ og varians σ². Altså er 

                               F(x) = P(Y ≤ x) = P( μ + σ·X ≤ x ) = P( X ≤ [ x -μ ]/ σ ) = Φ( [ x - μ]/ σ).

... Vær opmærksom på, at det ovenstående udgør ikke et bevis,