Matematik

differentialregning hjælp!

07. december 2020 af hq02 - Niveau: A-niveau

Kan nogen hjælpem ed vedhæftet opgave!


Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2020 af jamenhalløjsa

a)

dy/dx er f(x) differentieret, altså f'(x).

Vi finder derfor først f'(x):

f'(x) =0 + k*(-0,2)*e^(-0,2*x)

Differentialligningen vi skal påvise lyder:

f'(x)=-0,2*f(x)+2

Vi indsætter nu udtrykket for hhv. f'(x) og f(x) i ligningen:

k*(-0,2)*e^(-0,2*x) = -0,2* (10+k*e*(-0,2*x)) + 2

Vi ganger nu -0,2 ind i parentesen på højre side af lighedstegnet

k*(-0,2)*e^(-0,2*x) = -2 + (-0,2)*k*e*(-0,2*x) + 2

-2 og +2 går ud med hinanden

k*(-0,2)*e^(-0,2*x) =  (-0,2)*k*e*(-0,2*x)

Vi omrokere på højre side, og ser de to sider er ens på begge sider. 

k*(-0,2)*e^(-0,2*x)  = k*(-0,2)*e^(-0,2*x) 

Vi har nu vis, at f(x), hvor k er en konstant, er en løsning til differentialligningen.


Brugbart svar (0)

Svar #2
07. december 2020 af jamenhalløjsa

b)

I din formelsamling på s. 29, kan du se løsningen til den givne differentialligning.(se ligning 177). Der står:

y' = b - a * y             y = b/a + c*e^(-ax)

I vores differentialligning kan vi aflæse a og b.

dy/dx =-0,2y + 2

a = 0,2            b = 2

Vi indsætter nu værdierne for a og b i løsningen y:

y = 2/0,2 + c*e^(-0,2*x)

y = 10 + c*e^(-0,2*x)

vi skal nu bestemme løsningen, der går gennem punktet (0,8), hvilket betyder, at vi skal bestemme den ukendte konstant 'c' i ligningen:

x = 0          og         y = 8

8 = 10 + c*e^(-0,2*0)

8 = 10 + c*e^0

8 = 10 + c*1

8-10 = c

-2 = c

Altså er c = -2, når differentialligeningen går gennem (0,8) og derved er løsningen y = 10 -2*e^(-0,2x)


Brugbart svar (0)

Svar #3
07. december 2020 af jamenhalløjsa

c) 

Løsningen som vi fandt i b) skal vi bruge her: altså y = 10 - 2*e^(-0,2x)

Vi skal nu bestemme tangenten til løsningskurven (y) i punktet (0,8). Til dette skal vi bruge tangentens ligning altså:

y = f'(x0)*(x-x0) +f(x0)

Vores løsningskurve er y = 10 - 2*e^(-0,2x) => f(x) = 10 - 2*e^(-0,2*x). Vores x0 er givet i punktet (0,8) og er altså x0 = 0. Vores f(x0) er derved ligmed f(x0) = f(0) = 8.

Da vi også skal bruge f'(x0), differentierer vi først vores f(x) til f'(x):

f'(x) = 0 - (-0,2) * 2*e^(-0,2*x) = 0,4*e^(-0,2*x)

Vi bestemmer nu f'(x0) = f'(0) 

f'(0) = 0,4*e^(-0,2*0) = 0,4*e^0 = 0,4*1 = 0,4

Vi kan nu indsætte vores kendte værdier i ligningen for tangenten. f'(x0) = 0,4, x0 = 0, f(x0) = 8:

y = 0,4 * (x - 0) + 8 = 0,4x + 8

ALtså er ligning for tangeten til løsningskurven i punktet (0,8) givet ved y = 0,4x + 8


Skriv et svar til: differentialregning hjælp!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.