Matematik

Induktion Induktionsbevis

09. december 2020 af aeondude - Niveau: Universitet/Videregående

Hej! Desværre kommere jeg ikke videre med den her, så hvis der er nogen der ude der kan og gider at forklare evtl lidt hertil. Takker på forhånd! :)

Vis ved hjælp af fuldstændig induktion, at der for alle n ∈ $\mathbb{N}$ følgende ligning gælder:

$\prod (1-\frac{2}{k(k+1)} = \frac{1}{3}(1+\frac{2}{n})$

k=2

Vedhæftet fil: Screenshot 2020-12-09 130046.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2020 af Mathias7878

Du kunne også spørge på Math Stack Exchange. Der får du nok svar med det samme!

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. december 2020 af peter lind

Sæt n=2 og beregn venstre side og højre side og kontroller at de er ens

antag derefter at formlen gælder for n. Beregn derefter venstre side for øvre grænse n+1 og kontroler at du får højre side med n erstattet af n+1.

Hvor langt er du egentli kommet ?

Svar #3
09. december 2020 af aeondude

Og havd med k? sættes k=2 i den venstre side?!?

Brugbart svar (1)

Svar #4
09. december 2020 af peter lind

Når n=2 kører den blot en gang. Hvis du kalder indmaden i summationen for a_k får du venstre side af formlen ∑_k=2ⁿa_k og du får blot for n=2 ene led a₂ som du skal regne ud og får forhåbentlig det samme som højre side for n=2

I næste trin sætter du n+1 og får ∑_k=2ⁿ⁺¹ a_k = ∑_k=2ⁿ a_k + a_n+1 = ? som du skal regne ud. Det første led er blot højre side af ligningen ifølge antagelsen

Brugbart svar (1)

Svar #5
09. december 2020 af Soeffi

#0...Antag at det er sandt for n. Bevis at det gælder for n+1:

$\prod_{k=2}^{n+1} (1-\frac{2}{k(k+1)}) = \prod_{k=2}^{n} (1-\frac{2}{k(k+1)})\cdot (1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}) =$

$\frac{1}{3}(1+\frac{2}{n})\cdot (1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}) =$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2+n}{n} \cdot \frac{(n+1)(n+2)-2}{(n+1)(n+2)} =$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(n+1)(n+2)-2}{n(n+1)} =$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{n^2+3n}{n(n+1)} =\frac{1}{3} \cdot \frac{n+3}{n+1} =\frac{1}{3} \cdot (1-\frac{2}{n+1}) \;QED$

Svar #6
10. december 2020 af aeondude

skal den sidste del ikke svare til

= 1/3 *(1+ 2/(n+1)) QED ?!?

Brugbart svar (1)

Svar #7
10. december 2020 af Soeffi

#6. Jo, undskyld, den sidste linje skal være:

#5...
$\frac{1}{3} \cdot \frac{n^2+3n}{n(n+1)} =\frac{1}{3} \cdot \frac{n+3}{n+1} =\frac{1}{3} \cdot (1+\frac{2}{n+1}) \;QED$

Brugbart svar (1)

Svar #8
11. december 2020 af AskTheAfghan

Man har alternativt, idet k(k+1) - 2 = (k-1)(k+2),

$\begin{align*} \prod_{k=2}^n\left ( 1-\frac{2}{k(k+1)} \right )&=\prod_{k=2}^n\left ( \frac{k-1}{k}\frac{k+2}{k+1} \right )\\ &=\left ( \frac{1}{\color{red} 2}\frac{\color{red} 4}{3} \right )\left ( \frac{\color{red} 2}{\color{red}3}\frac{\color{red}5}{\color{red}4} \right )\left ( \frac{\color{red}3}{\color{red}4}\frac{\color{red}6}{\color{red}5} \right )\cdots \left ( \frac{\color{red}n-1}{n}\frac{n+2}{\color{red}n+1} \right )\\ &=\frac{1}{3}\frac{n+2}{n} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
11. december 2020 af Soeffi

#8. Rigtigt (et direkte bevis), men måske bedre:

$\begin{align*} \prod_{k=2}^n\left ( 1-\frac{2}{k(k+1)} \right )&=\prod_{k=2}^n\left ( \frac{k-1}{k}\frac{k+2}{k+1} \right )\\ &=\left ( \frac{1}{3}\frac{4}{2} \right )\left ( \frac{2}{4}\frac{5}{3} \right )\left ( \frac{5}{3}\frac{6}{4} \right ) \cdots \left ( \frac{n-1}{n+1}\frac{n+2}{n} \right )\\ &= \frac{1}{3} \left ( \frac{4}{2} \frac{2}{4} \right) \left ( \frac{5}{3} \frac{3}{5} \right) \left ( \frac{6}{4} \frac{4}{6} \right) \cdots \left (\frac{n+1}{n-1} \frac{n-1}{n+1} \right ) \frac{n+2}{n} \\ & =\frac{1}{3}\frac{n+2}{n} = \frac{1}{3}\left (1+ \frac{2}{n} \right ) \end{align*}$

Skriv et svar til: Induktion Induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.