Matematik

Inhomogen differentialligning

07. februar 2021 af kurtw - Niveau: Universitet/Videregående

Et formulerings spørgsmål.
Kan man sige at en løsningen til diff.ligningen y ' (t)-2y(t)=exp^(2t), er y(t)=C*exp^(2t)

Ved indsættelse får man 0 = exp^(2t).
Så den kan vel kun siges at være løsning til den tilsvarende homogene ligning?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. februar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} y{\, }'+(-2)\cdot y=e^{2t}\qquad \textup{panserformlen giver}\\\\ y(t)=e^{2t}\cdot \int e^{2t}\cdot e^{-2t}\,\mathrm{d}t\\\\ y(t)=e^{2t}\cdot \int 1\,\mathrm{d}t\\\\\\ y(t)=e^{2t}\cdot\left ( t+C \right ) \end{array}$

Svar #2
07. februar 2021 af kurtw

Jeg er med på at det er en del af løsningen, men kan man entydigt sige at løsningen y(t)=C*exp^(2t) er en løsning til ligningen?

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. februar 2021 af MandenMedMangeHatte

$L_{inhom}=x_0(t)+L_{hom}$

Løsningsmængden til den inhomogene differentialligning kan (ifølge struktursætningen) skrives som summen af en partikulær løsning til den inhomogene ligning og løsningsmængden til den homogene differentialligning. Bemærk den homogene differentialligning kommer ved at sætte højresiden lig 0. Den homogene differentialligning kan evt. løses med panserformlen.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. februar 2021 af MandenMedMangeHatte

Den homogene løsning:

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. februar 2021 af MandenMedMangeHatte

Den inhomogene løsning.

Vi gætter på

Ved indsættelse i differentialligningen fås

Gættet duer ikke. Vi ganger et t på og prøver igen.

En partikulær løsning er da

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. februar 2021 af MandenMedMangeHatte

Den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning:

Skriv et svar til: Inhomogen differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.