Matematik

Bevis for den komplekse eksponentialfunktion

04. marts kl. 21:22 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg sidder her og prøver at få beviset for e^z=e^xe^y=e^x\cdot(cos(y)+i\cdot sin(y)) til at gå op, dog uden held...

Jeg har virkelige svært ved at forstå hvordan arg(e^z)=e^y=(cos(y)+i\cdot sin(y). Faktisk, kan jeg slet ikke få det til at give mening. 

Jeg har et notat fra DTUs noter om komplekse tal, som siger:

arg(e^z)=arg(e^x)+arg(cos(y)+i*sin(y))=0+y=y

Mine spørgsmål er:

1. Hvorfor giver arg(e^x)=0?

2. Hvordan kommer man frem til e^y=cos(y)+i*sin(y)?

Mange tak på forhånd.


Brugbart svar (0)

Svar #1
04. marts kl. 21:41 af peter lind

Ved læg opgaven ordret helst som et billed, billedfil eller som en pdf fil


Svar #2
04. marts kl. 21:43 af louisesørensen2

Det er ingen opgave, men et notat - jeg vedhæfter


Svar #3
04. marts kl. 21:48 af louisesørensen2

Sætning 1.31: 

|z_{1}*z_{2}|=|z_{1}|*|z_{2}|

Sætning 1.34:

"Givet to komplekse tal z_{1} \neq 0 og z_{2} \neq 0. Der gælder: 

1. Hvis v_{1} er et argument for z_{1} og v_{2} et argument for z_{2}, så er v_{1}+v_{2} et argument for brøken produktet z_{1}z_{2}"


Brugbart svar (0)

Svar #4
04. marts kl. 22:18 af peter lind

ex*ey = ex*y = |ex*y|* (cos(v1+v2) + i sin(v1+v2)


Brugbart svar (0)

Svar #5
04. marts kl. 22:45 af Eksperimentalfysikeren

Du har en fejl i ez = ex*eiy. Du mangler i'et.

arg(ex) = 0 fordi x er reel. Når x er reel, er alle ledene i rækkeudviklingen reelle, så resultatet er et reelt tal.

y er også reel, så iy er rent imaginær. I rækkeudviklingen vil ledene med lige numre have i i en lige potens, så de er reelle. De er identiske med ledene i rækkeudviklingen for cos(y). Ledene med ulige numre har i i en ulige potens, hvorfor de kan skrives som i gange relle led. Derfor kan i sættes udenfor en parentes. Ledene inde i parentesen er identiske med ledene for sin(y).


Brugbart svar (0)

Svar #6
04. marts kl. 23:42 af Semiodigm

De komplekse tal kan også være noget svære lige at komme i gang med.
For det første så er z = x + iy en definition, som udvider vores brug af matematikken. Inden for det reele tal er det ikke muligt at løse polynomiet x^2 = -1. Da svaret ville være x = \sqrt{-1}, hvilket ikke findes inden for de reelle tal. Med introduktionen af de komplekse tal, er det dog muligt ved indførelsen af definitionen i = \sqrt{-1}. Husk på at matematikken er et værktøj, og bare fordi at vi udvider vores regneregler forbi de reelle tal, betyder det ikke, at de kompleke tal ikke findes. Disse giver os fx mulighed for at regne med rotationer ved brug af algebra, som ofte er anvendt inden for signalanalyse.

Ved at benytte defintionen for z fås e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}e^{iy} , hvilket bare er simpel potens regneregel.
Det sidste led kan skrives som e^{iy} = cos(y) + isin(y). Dette er berømt kendt som eulers formel, og kan være lidt svært at udlede. I matematik bogen er det skrevet ind som en definition, og derfor ikke bevist. En mulighed kunne være at bruge taylor approximation med uendelige rækker, og ved at huske på cos og sinus er orthogonale funktioner kan du finde frem til det. Det er dog for omstændigt til at jeg vil skrive det her.

Bevist for at argument til e^{x} er 0, er noget nemmere. Husk fra definitionen z = x + iy, at x og y er relle variable, og for reele variable gælder det at \forall x, y \in \mathbb{R}, x^y \in\mathbb{R}. Dvs ethvert reelt tal opløftet i et andet reelt tal, vil også være reelt. Så i den komplekse plan vil de altid ligge ud på den reelle akse. Da eulers tal e er positivt og reelt, får du vinklen til altid at være 0, altså ud af den positive reele akse. Et negativt x værdi vil ikke ændre på dette, du vil bare få en positiv brøk. Havde du derimod haft arg(-e^x), ville argumentet blive 180 grader (\pi), da dette tal ligger ud af den negative reelle akse.
Det er kun ved indførslen af den imaginære del i, at e^i bliver komplekst, og derfor har en vinkel, altså hvor argumentet ikke altid er nul.
Ganger du to komplekse tal kan du derimod godt få et reelt tal fx i\cdot i = i^2 = -1

Håber at det hjalp


Svar #7
05. marts kl. 09:47 af louisesørensen2

Mange tak for svar alle sammen - særligt Eksperimentalfysikeren og Semiodigm. 

Jeg har selv udledt Euler's formel vha. Maclaurin/Taylor rækker, men nogen gange ser man sig jo bare fuldstændig blind. Det giver selvfølgelig god mening for mig nu hvordan e^y=cos(y)+i*sin(y), men særligt hvorfor arg(e^x)=0 og hvorfor det er modulus for e^z.


Skriv et svar til: Bevis for den komplekse eksponentialfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.