Matematik

Taylorrække

04. juni kl. 22:07 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan finder jeg taylorrækken i a)? Kan I give et hint? Jeg er kommet frem til, at f^(n)(x) = ln(2)^(n)*2^(x). Kan det så passe, at taylorrækken er summen fra n = 0 til uendelig af ln(2)^(n)*2^(x)/n! 


Brugbart svar (1)

Svar #1
04. juni kl. 22:26 af janhaa

a)

Taylor series of 2x:

2^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n\cdot \ln^n(2)}{n!}


Brugbart svar (0)

Svar #2
04. juni kl. 22:34 af janhaa

2^x=1+x*\ln(2)+\frac{1}{2}*x^2*\ln^2(2)+\frac{1}{3!}*x^3*\ln^3(2)+\frac{1}{4!}*x^4*\ln^4(2)+...+ \frac{1}{n!}*x^n*\ln^n(2)


Brugbart svar (0)

Svar #3
04. juni kl. 22:37 af janhaa

2^x=1+x*\ln(2)+\frac{1}{2}*x^2*\ln^2(2)+\frac{1}{3!}*x^3*\ln^3(2)+\frac{1}{4!}*x^4*\ln^4(2)+\frac{1}{5!}*x^5*\ln^5(2)+\bigcirc (x^6)


Brugbart svar (1)

Svar #5
04. juni kl. 23:24 af Eksperimentalfysikeren

Ledene i en Taulorrække har formen:

a_{n} = \frac{1}{n!}\cdot f^{'n}(x_{0})x^{n}

hvor f'n betegner den n'te afledede af f og x0 er den værdi, der udvikles fra, i denne opgave er x0 = 0.

Du skal altså finde ud af, hvordan an kommer til at se ud, når du udfører differentiationerne.


Brugbart svar (1)

Svar #6
05. juni kl. 02:41 af AskTheAfghan

(a) Taylorrækken for f med udviklingspunkt i x0 er ∑n≥0 (f(n)(x0)/n!)(x-x0)n. Her er f(n)(x) = 2x(ln(2))n, som du har fundet frem til.


Svar #7
05. juni kl. 09:29 af K22

#6 Når man skal argumentere for, at det er den korrekte taylorrække, er det så nok at differentiere 2^x et par gange og sige, at man kan se en sammenhæng/mønster? Eller skal man lave et induktionsbevis eller noget tredje? 


Svar #8
05. juni kl. 10:38 af K22

Har jeg ret i, at taylorrækken i b) er summen fra n=0 til uendelig af x^3n+1/(3n+1)*n! 


Brugbart svar (1)

Svar #9
05. juni kl. 14:50 af AskTheAfghan

#7     Møsteret får dig til at tro, at f(n)(x) = 2x(ln(2))n. Dette er en påstand, der skal bevises, vha. induktion. Det er ligetil, for hvis den gælder for n = k, har man f(k+1)(x) = (f(k))'(x) = 2x(ln(2))k+1, som ønsket.


Svar #10
05. juni kl. 21:50 af K22

#9 Er det "induktionstrin" du har vist der?


Svar #11
05. juni kl. 22:57 af K22

Når man skal vise konvergens, kan man så bruge Taylorsformel med restled?


Brugbart svar (1)

Svar #12
06. juni kl. 16:45 af AskTheAfghan

#10     Ja.

#11     Nej. Nu hvor du har nævnt, hvilken bog der skal bruges i den anden tråd, skal du bruge Lemma 4.31.


Svar #13
06. juni kl. 18:50 af K22

Hvordan skal jeg bruge det lemma?

Skriv et svar til: Taylorrække

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.