Matematik

Cirklens ligning

18. december 2021 af Quarr - Niveau: 10. klasse

Jeg ved godt at man ikke lærer om cirklens ligning i 10. klasse, men da jeg går i tiende skal jeg sætte niveauet til det.

Opgaven lyder:

Bestem centrum og radius for cirklen med ligningen

$x^2+y^2-6x+16y+24=0$

Cirklens ligning er givet ved

$(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2$

Hvordan vil man kunne omskrive den til formen for en cirkels ligning?

Kvadratkomplettering?

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. december 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}&& x^2-6x=x^2+2\cdot x\cdot (-3)=(x-?)^2-?^2\\\\&& y^2+16y=y^2+2\cdot y\cdot 8=(y+?)^2-?^2 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
18. december 2021 af PeterValberg

Se eventuelt video nr. 30 på denne videoliste < LINK >

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #3
18. december 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}&& x^2-6x=x^2+2\cdot x\cdot (-3)=(x-3)^2-3^2=(x-3)^2-9\\\\&& y^2+16y=y^2+2\cdot y\cdot 8=(y+8)^2-8^2=(y+8)^2-64\\ \textup{dvs}\\&& (x-3)^2-9+(y+8)^2-64=0\\\\&& (x-3)^2+(y+8)^2=\left ( \sqrt{73} \right )^2\\\\\\&& (x-3)^2+(y-(-8))^2=\left ( \sqrt{73} \right )^2 \end{array}$

Svar #4
18. december 2021 af Quarr

$\small \begin{array}{llllll}&& x^2-6x=x^2+2\cdot x\cdot (-3)=(x-?)^2-?^2\\\\&& y^2+16y=y^2+2\cdot y\cdot 8=(y+?)^2-?^2 \end{array}$

#2
Se eventuelt video nr. 30 på denne videoliste < LINK >

#3
$\small \small \begin{array}{llllll}&& x^2-6x=x^2+2\cdot x\cdot (-3)=(x-3)^2-3^2=(x-3)^2-9\\\\&& y^2+16y=y^2+2\cdot y\cdot 8=(y+8)^2-8^2=(y+8)^2-64\\ \textup{dvs}\\&& (x-3)^2-9+(y+8)^2-64=0\\\\&& (x-3)^2+(y+8)^2=\left ( \sqrt{73} \right )^2\\\\\\&& (x-3)^2+(y-(-8))^2=\left ( \sqrt{73} \right )^2 \end{array}$

Mange gange tak for jeres hjælp! :) Giver meget bedre mening for mig! :)

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #5
18. december 2021 af mathon

korrektion:

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll}\textup{dvs}\\&& (x-3)^2-9+(y+8)^2-64+\mathbf{{\color{Red} 24}}=0\\\\&& (x-3)^2+(y+8)^2=7^2\\\\\\&& (x-3)^2+(y-(-8))^2=7^2 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
18. december 2021 af ringstedLC

#0: Alternativ:

$\begin{align*} \left (x-x_0\right )^2+\left (y-y_0\right )^2 &= r^2 \\ \left (x-x_0\right )^2+\left (y-y_0\right )^2-r^2 &= 0 \\ \Bigl(x^2+{x_0}^2-2\cdot xx_0\Bigr)+\Bigl(y^2+{y_0}^2-2\cdot yy_0\Bigr)-r^2 &= 0 \\ x^2+y^2-\underset{6}{\underbrace{2x_0}}\cdot x-\underset{-16}{\underbrace{2y_0}}\cdot y +\underset{24}{\underbrace{{x_0}^2+{y_0}^2-r^2}} &= 0 \\ 2x_0 &= 6 \Rightarrow x_0=\;? \\ 2y_0 &= -16 \Rightarrow y_0=\;? \\ {x_0}^2+{y_0}^2-r^2 &= 24 \\ r^2 &= -(?\,-\,?) \\ r &= \;? \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
18. december 2021 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{Alternativ 2:}\\&& x^2+2f\cdot x+y^2+2g\cdot y+h=0\\\\ &\textbf{cirkelligning:}\\&& \left ( x-(-f) \right )^2+\left ( y-(-g) \right )^2=\left (\sqrt{f^2+g^2-h } \right ) ^2 \end{array}$

Svar #8
18. december 2021 af Quarr

#6
#0: Alternativ:

$\begin{align*} \left (x-x_0\right )^2+\left (y-y_0\right )^2 &= r^2 \\ \left (x-x_0\right )^2+\left (y-y_0\right )^2-r^2 &= 0 \\ \Bigl(x^2+{x_0}^2-2\cdot xx_0\Bigr)+\Bigl(y^2+{y_0}^2-2\cdot yy_0\Bigr)-r^2 &= 0 \\ x^2+y^2-\underset{6}{\underbrace{2x_0}}\cdot x-\underset{-16}{\underbrace{2y_0}}\cdot y +\underset{24}{\underbrace{{x_0}^2+{y_0}^2-r^2}} &= 0 \\ 2x_0 &= 6 \Rightarrow x_0=\;? \\ 2y_0 &= -16 \Rightarrow y_0=\;? \\ {x_0}^2+{y_0}^2-r^2 &= 24 \\ r^2 &= -(?\,-\,?) \\ r &= \;? \end{align*}$

Mange tak Ringsted! :) :) Nu kan jeg godt se fidusen i hvorfor jeg skulle dividere x₀ med 2. :)

#7
$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{Alternativ 2:}\\&& x^2+2f\cdot x+y^2+2g\cdot y+h=0\\\\ &\textbf{cirkelligning:}\\&& \left ( x-(-f) \right )^2+\left ( y-(-g) \right )^2=\left (\sqrt{f^2+g^2-h } \right ) ^2 \end{array}$

Også tak til dig Mathon! :) :)

- - -

Skriv et svar til: Cirklens ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.