inverse funkioner. injektive

En injektiv funktion f(x) giver forskellige værdier for alle x.

sin(x) giver 0 for f.eks. både x=2pi og x=4pi

#0 Tegn grafen for cosinus i intervallet  (-π/2 , π/2), så kan du se, at den ikke er injektiv.

Lad f: [1/2,1/2] -> R være givet ved f(x)=sin(x). Da er f injektiv, da den er strengt voksende.

Lad g: [1,2] -> R være givet ved g(x)=sin(x). Da er g IKKE injektiv, da f(x)=f(x') IKKE medfører, at x=x'.

#3

Lad f: [-pi/2,pi/2] -> R ...

Lad g: [1,2] -> R være givet ved g(x)=sin(x). Da er g ikke injektiv fordi g(x) ved mindst to forskellige værdier af x giver samme resultat.

Om sinus er injektiv afhænger af, hvilken definitionsmængde, man benytter. Benytter man:

er der uendeligt mange x-værdier, der giver f.eks. 0. Så er sinus ikke injektiv, og man kan ikke angive en omvendt funktion.

Benytter man i stedet

er der for hver mulig funktionsværdi kun én x-værdi, der afbildes over i den, og så er sinus injektiv, og man kan definere den omvendte funktion til sinus. Den angives lidt forskelligt i forskellige sammenhæng:

Den sidste er en forkortelse af arcus sinus, dvs. buen svarende til sinus.

#5 Er det så også derfor at arcsin funktionen har Dm = [-1; 1] ?

Nej, det er fordi sin kun har funktionsværdier i dette interval.

Tegn enhedscirklen i et koordinatsystem. så kan du se, at der ikke findes en vinkel, der giver en sinusværdi, der er større end 1 eller mindre end -1.

#4

#3

Lad f: [-pi/2,pi/2] -> R ...

Lad g: [1,2] -> R være givet ved g(x)=sin(x). Da er g ikke injektiv fordi g(x) ved mindst to forskellige værdier af x giver samme resultat.

Der er ingen forskel på de to, hvis jeg forstår, hvad du mener med "resultat". For at se, det er det samme, så kan du overveje, om der for en funktion f: X->Y kan eksistere x,x' i X hvor x!=x', således at f(x)=f(x') => x=x', eller om der er en modstrid?

Du kan eventuelt se definition 1 på proofwiki: https://proofwiki.org/wiki/Definition:Injection.

#6

#5 Er det så også derfor at arcsin funktionen har Dm = [-1; 1] ?

Arcsin uden restriktion på definitionsmængden er en såkaldt "multi-valued function" eller "multifunktion". Derfor bruger man kun dens "principal branch" som definitionsmængde, hvilket medfører, at arcsin kun evalueres til en værdi. Du ser det samme med den komplekse logaritme funktion som ej heller er entydigt bestemt. Du møder det tit i kompleks analyse.

Det er således et spørgsmål om definition. Det er meget godt forklaret på proofwiki:

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inverse_Sine/Arcsine og https://proofwiki.org/wiki/Definition:Natural_Logarithm/Complex