Matematik

Separation af differentialligning

17. januar kl. 01:00 af qwerty18 - Niveau: A-niveau

Jeg sidder fast i følgende opgave:

$\text{Bestem l\o sningen til differentialligningen }y'=\frac{y}{2x} \text{ der g\aa r gennem punktet }P(1,6).$ Indtil videre er jeg kommet så langt:

$\hspace{-1cm}h(x)=\frac{1}{2x} \quad , \quad g(y)=y \\[10pt] \quad \Rightarrow \quad \int \frac{1}{y}dy=\int \frac{1}{2x}dx \\[10pt] \quad \Rightarrow \quad \ln |y|=\frac{1}{2} \ln |x|+c \\[10pt] \Rightarrow \quad y=\sqrt{x} \cdot e^{c}$

Problemet er blot, at når jeg solver i mit CAS-værktøj får jeg c=6, men når jeg indsætter P(1,6) i ligningen ovenover og isolerer c får jeg:

$6=\sqrt{1}\cdot \exp{c} \Rightarrow c=\ln{6} \neq6$ .

Mit spørgsmål er altså: Hvor går jeg galt, og hvordan kan det forstås logisk på nogen anden måde således, at mit svar stemmer overens med CAS?

Tak på forhånd :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. januar kl. 02:06 af SuneChr

Er det ikke forskellige c, der spøger:
c₁ = 6
c₂ = ln 6

y = c₁ $\sqrt{x}$
y = $e^{c_{2}}\sqrt{x}$ konstanten er her udtrykt som en potens af e.
går begge gennem P

Svar #2
17. januar kl. 02:49 af qwerty18

Hmm, du har nok fat i noget, men hvor skulle c2 dog komme fra?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. januar kl. 08:37 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}&& c=\ln(6)\Leftrightarrow e^c=e^{ln(6)}=6\\ \textup{hvorfor}\\&&y=e^c\cdot \sqrt{x}=6\cdot \sqrt{x} \end{array}$

Svar #4
17. januar kl. 12:51 af qwerty18

Men hvorfor kan man bare køre c gennem funktionen 2 gange?

Når man først indsætter P(1,6) fås c jo som ln6 og derved funktionen som

$y=\ln{6}\cdot \sqrt{x}$ .

Hvorfor kan man så bare vælge at gøre det hele en gang til og skabe et c2 ud af det blå så man får

$y=e^{c_2}\cdot \sqrt{x}=e^{\ln{6}}\cdot \sqrt{x}=6\sqrt{x}$ ?

Og hvorfor er c1=c2 overhovedet?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. januar kl. 12:54 af mathon

genlæs #3

Skriv et svar til: Separation af differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.