Matematik

Ulighed

30. marts 2022 af migmigmig22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

I appendikset i min bog står der, at:

$1+x\leq exp(x)$

For alle x i de reelle tal. Så kan man sætte -x ind i denne ulighed og få:

$1-x\leq exp(-x)$

Og for x<1 kan man så få:

$1+x\leq exp(x)\leq \frac{1}{1-x}$

Jeg forstår dog ikke helt, hvorfor det er afgørende, at x<1. Kan nogen forklare mig det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. marts 2022 af Eksperimentalfysikeren

Hvis x=0, er den sidste brøk ikke defineret. For x>1 er den negativ, mens exp(x) er positiv i strid med ulighedeen.

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. marts 2022 af Soeffi

#0...Jeg forstår dog ikke helt, hvorfor det er afgørende, at x<1. Kan nogen forklare mig det?

Vedhæftet fil:uligheder.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. marts 2022 af peter lind

Hvis du sætter x = -3 får du 1-3 <= exp(-3) helt i ioverensstemmelse med den anden version. Hvis du sætter x=-3 ind i den anden version får du 1-(-3)< exp(-(-3)) helt i overensstemmelse med den første version

Den sidste går ikke. Du kan for eks. se på x=-1. Du kan også se på at hvis du dividere med et negativt tal skal ulighedstegnet vendes.

Er du virkelig universitetsstuderende eller anden tilsvarende uddannelse?

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. april 2022 af AskTheAfghan

#0
Så kan man sætte -x ind i denne ulighed og få:

$1-x\leq exp(-x)$

Og for x<1 kan man så få:

$1+x\leq exp(x)\leq \frac{1}{1-x}$

Jeg forstår dog ikke helt, hvorfor det er afgørende, at x<1. Kan nogen forklare mig det?

Fordi 1 - x er positiv, hvis x < 1. Dette sørger for, at hvis man dividerer med det positive 1 - x på hver side af lighedstegnet, vil ulighedstegnet forblive uændret (ellers skal det vendes om). Hvis x < 1, vil 1 - x ≤ e^-x føre til 1 ≤ e^-x/(1-x), eller, ækvivalent, e^x ≤ 1/(1-x).

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. april 2022 af Soeffi

#0. Du har...

$1-x\leq exp(-x),\;x \in \mathbb{R}$

og...

$\frac{1}{1-x} \geq exp(x) \; for \; x<1 \; og \; \frac{1}{1-x} < exp(x)\; for \; x>1$

Det er rigtigt, at a > b ⇒ 1/a < 1/b, men kun hvis a og b har samme fortegn. Hvis a er positiv og b er negativ, så bliver der ikke lavet om på fortegnet. I denne opgave får man, at 1 - x og exp(x) er positive for x < 1, mens 1 - x er negativ og exp(x) er positiv for x > 1. Derfor kan man kun vende ulighedstegnet for x < 1.

Vedhæftet fil:ulighed.png

Svar #6
01. april 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Tak til jer alle. Jeg står med et nyt problem, som er, at jeg for |x|<1/2 skal vise, at:

$|sinh(x)|\leq 3|x|$

Jeg ved jo, at:

$1+x\leq exp(x)\leq \frac{1}{1-x}$

Så kan jeg lave omskrivningen:

$\frac{1+x-exp(-x)}{2}\leq \frac{exp(x)-exp(-x)}{2}\leq \frac{\frac{1}{1-x}-exp(-x)}{2}$

Jeg ved, at:

$a\leq b\leq c\Rightarrow |b|\leq |a|+|c|$

Så gælder det, at:

$\left | \frac{exp(x)-exp(-x)}{2} \right |\leq \left | \frac{1+x-exp(-x)}{2} \right |+\left | \frac{\frac{1}{1-x}-exp(-x)}{2} \right |$

Men jeg kan ikke komme videre herfra. Kan jeg få et hint?

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. april 2022 af Soeffi

#6. Brug evt. Taylor-udvikling kombineret med den geometriske række:

$sinh(x)=x+\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ... \leq x+x^3 + x^5 + ...=$

$x+x^3 + x^5 + ...= x\cdot (1+x^2 + x^4 + ...) = x\cdot ((x^2)^0 + (x^2)^1+ (x^2)^2 + ...)=$

$x\cdot ((x^2)^0 + (x^2)^1+ (x^2)^2 + ...)= x\cdot \sum_{i=1}^{\infty}(x^2)^i=\frac{x}{1-x^2},\;|x|<1$

Dvs.

$\left | sinh(x) \right |\leq \left | \frac{x}{1-x^2} \right |,\;|x|<1$

Man sammenligner nu dette med 3·x for x ≥ 0:

$x\geq 0 \wedge \frac{x}{1-x^2} \leq 3x\Leftrightarrow 0\leq x \leq \sqrt{\frac{2}{3}}$

Heraf kan udledes, at

$\left | sinh(x) \right |\leq \left | \frac{x}{1-x^2} \right | \leq 3|x|, \; for\;|x| \leq \frac{1}{2}$

da alle tre funktioner er ulige, og da 1/2 < √2/3. Lighedstegnet gælder for x = 0.

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. april 2022 af AskTheAfghan

#6 sinh(x) = (e^x - e^-x)/2. Der ønskes at finde estimatet i tælleren. Overbevis dig selv, at |e^x - 1| < 3|x| for x < 1/2. Tilsvarende er |e^-x - 1| < 3|x| for x > -1/2. Derved fås

|sinh(x)| ≤ (|e^x - 1| + |1-e^-x|)/2 = 3|x| for alle x i (-1/2,1/2).

Skriv et svar til: Ulighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.