Matematik

Funktioner af to variable

14. maj kl. 16:52 af august543 - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg undrer mig over hvilke grundlæggende forskelle der er på at differentiere funktioner af to variable frem for funktioner af én variabel? Jeg har læst lidt forskelligt på nettet, men jeg forstår det ikke. Er der nogen der kan forklare det?

Tak på forhånd:)


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. maj kl. 19:43 af SuneChr

En funktion i to variable fremstiller en flade i rummet, ikke nødvendigvis en plan.
Differentialkvotienterne i et punkt på fladen angiver, hvordan tangentplanen i punktet ligger.
Funktionen i to variable differentieres ad to gange, først m.h.t. x hvor y holdes konstant dernæst
m.h.t. y , hvor x holdes konstant. Det skriver man som henholdsvis ∂f(x , y)/∂x og ∂f(x , y)/∂y.
Der gælder de samme regneregler for differentiation som for funktioner med en variabel.
Men benytter det lidt krøllede d, ∂ for at tilkendegive, at differentialkvotienten er for funktionen
af to variable.


Brugbart svar (0)

Svar #2
14. maj kl. 22:16 af Eksperimentalfysikeren

Man kan tænke sig et landskab, hvor f(x,y) er højden over havet i et punkt med de geografiske koordinater x og y. De to differentialkoefficienter angiver hældningen af fladen, når man går parallelt med én af akserne, altså nord-syd eller øst-vest. Hvis man går et lille stykke ds i en anden retning, hvor ds er en lille vektor med koordinater (dx,dy) ændrer højden sig med stykket dh:

dh = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy.

Man går stykket dx i x-aksens retning og stykket, man kommer opad får man ved at gange dx med hældningskoefficienten i x-retningen. Tilsvarende med y-retning. Da man går i retningen ds får man den samlede stigning ved at addere de to bidrag.


Brugbart svar (0)

Svar #3
14. maj kl. 23:06 af SuneChr

# 2
Ja, et landskab, en topografi, er en god anskueliggørelse af rumlige forhold.
# 0
Af højdekurverne på et landkort får man et godt indtryk af højdeforholdene: ligger kurverne tæt, vil det svare til, at tangentplanen i denne omegn er mere stejl end der, hvor der er længere mellem kurverne.
Samme indtryk får man af et vejrkort med kurver, isobarer, for lufttrykket.
Et højdekort er en samling af plane snit parallelle med xy-planen, vinkelret på z-aksen, i det rumlige koordinatsystem.   


Skriv et svar til: Funktioner af to variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.