Funktioner af to variable

En funktion i to variable fremstiller en flade i rummet, ikke nødvendigvis en plan.
Differentialkvotienterne i et punkt på fladen angiver, hvordan tangentplanen i punktet ligger.
Funktionen i to variable differentieres ad to gange, først m.h.t. x hvor y holdes konstant dernæst
m.h.t. y , hvor x holdes konstant. Det skriver man som henholdsvis ∂f(x , y)/∂x og ∂f(x , y)/∂y.
Der gælder de samme regneregler for differentiation som for funktioner med en variabel.
Men benytter det lidt krøllede d, ∂ for at tilkendegive, at differentialkvotienten er for funktionen
af to variable.

Man kan tænke sig et landskab, hvor f(x,y) er højden over havet i et punkt med de geografiske koordinater x og y. De to differentialkoefficienter angiver hældningen af fladen, når man går parallelt med én af akserne, altså nord-syd eller øst-vest. Hvis man går et lille stykke ds i en anden retning, hvor ds er en lille vektor med koordinater (dx,dy) ændrer højden sig med stykket dh:

Man går stykket dx i x-aksens retning og stykket, man kommer opad får man ved at gange dx med hældningskoefficienten i x-retningen. Tilsvarende med y-retning. Da man går i retningen ds får man den samlede stigning ved at addere de to bidrag.

# 2
Ja, et landskab, en topografi, er en god anskueliggørelse af rumlige forhold.
# 0
Af højdekurverne på et landkort får man et godt indtryk af højdeforholdene: ligger kurverne tæt, vil det svare til, at tangentplanen i denne omegn er mere stejl end der, hvor der er længere mellem kurverne.
Samme indtryk får man af et vejrkort med kurver, isobarer, for lufttrykket.
Et højdekort er en samling af plane snit parallelle med xy-planen, vinkelret på z-aksen, i det rumlige koordinatsystem.