Grænseværdi

Er spørgsmålet:
Udled differentialkvotient ved grænseværdibetragtning?

Nej, jeg skal bare gøre rede for begrebet grænseværdi, og har ikke specielt mange noter om grænseværdi. Så, ville gerne vide sådan hvad det er.  

"Bare" gøre rede for grænseværdi.
Du må have fat i lærebogen.
Studieportalen er ikke til undervisning i hele lektioner. Kontinuitet, grænseværdi og differentialregning er et omfangsrigt og svært stof og er ikke "bare" noget, man lige læser op af ubehjælpsomme noter.
Ved udgangen af 2.g skulle man gerne have erhvervet en dybere indsigt i de reelle tals uendelighed. 

Mange tak for hjælpen, jeg fik jo også meget hjælp af det. Jeg mente bare sådan definitionen og hvad der menes med begrebet grænseværdi.. og siden du ikke kan/gider at hjælpe, er der mon en anden sød sjæl der kunne hjælpe mig her??

Btw, jeg er venner med Thomas, og vi havde begge bruge dette hjælp, beklager hvis det forvirrer jer:))

#2 & #4 Ret forenklet kan det siges at en grænseværdi er en værdi en funktion nærmer sig når værdier funktionen antager nærmer sig en bestem størrelse.

Hvis I siger dette udsagn til en mundtlig eksamen, vil eksaminator og/eller censor nok bede om at uddybe det.

Der er en del tilfælde, hvor man er interesseret i, hvordan e funktion opfører sig, når x nærmer sig en bestemt værdi, som vi kalder x₀.

Eksempel: Funktionen f(x) = sin(x)/x er ikke defineret i x=0, da man ikke kan dividere med 0. På den anden side kan man se, hvis man tegner grafen, at det ser ud som om den manglende funktionsværdi skulle ligge på 1. Kurven ser ud til at ramme y-aksen i højden 1. Man siger, at funktionen går med 1 for x gående mod 0. Det er idéen i det. Det er klart, at man skal bruge noget mere stringent til at definere grænseværdi.

Man siger, at f(x) har grænseværdien a i x₀, hvis for ethvert ε>0, kan finde et δ>0 sådan at hvis

x∈]x₀-δ;x₀+δ[ vil f(x) ∈ ]a-ε,a+ε[ .

Jeg kan forestille mig, at denne måde at skrive det på kan virke lidt uforståelig. Derfor et andet eksempel:

Om morgenen laver jeg havregrød til mit barnebarn. Når grøden er færdig, er den 100 grader varm. Det kan den lille selvfølgelig ikke tåle. Han skal have noge ved stuetemperatur. Det giver så et problem, for når grøden står og køler af, når den aldrig ned på stuetemperaturen. Jo koldere grøden bliver des langsommere afgiver den varme. Hvordan klarer man det? Man tillader, at grøden er lidt (ε) varmere end stuetemperaturen. Så længe ε er valgt positiv, kan man få grøden ned på den ønskede temperatur, hvis blot man venter længe nok. Man skal altså have en tid, der er større end en tid τ, for at grøden er kold nok. Man kan her sige, at temperaturen har grænseværdien stuetemperatur for tiden gående mod uendelig. Dette kan skirves:

∀ε>0 ∃τ>0: t>τ ⇒ T(t) ∈]T_stue-ε;T_stue+ε[

Et tredie eksempel: Funktionen g(x) = 1/sin(x) er ikke defineret for x=0. Den har ingen grænseværdi for x gående mod 0, for ligegyldigt, hvor lille δ er, vil g(x) svinge mellem -1 og 1 for værdier mellem 0 og δ.